cho các số dương a và b thỏa mãn các điều kiện:
a^2000 + b^2000 = a^1998 + b^1998
chứng minh rằng a^2 + b^2 < hoặc = 2
Những câu hỏi liên quan
cho các số a>0, b>0 thỏa mãn:
\(a^{2000}+b^{2000}=a^{1998}+b^{1998}\)
CMR: \(a^2+b^2\)<2 và =2
Dễ thấy thôi, sẽ có 4 TH là
(-) a=1; b=1
(-) a=1 ; b =0
(-) a=0 ; b=1
(-) a=0 ; b=0
( phần cm cậu tự làm nhé)
Sau đó xét từng TH => đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho các số dương a,b thỏa mãn điều kiện a^2000+b^2000=a^1998+b^1948 cmr:a^2+b^2<=2?
19 tháng 12 2021 lúc 20:39
Các Ctv hoặc các giáo viên helpp ạ
Cho a,b,c là số thực dương không âm thỏa mãn
Cho a,b,c là số thực dương không âm thỏa mãn \(a+b+c=1\) . Chứng minh rằng :
\(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}>10\)
tìm các số nguyên a,b,c thỏa mãn điều kiện:a<b,a+3=b+c và a2=b2+c2+1
Cho các số dương a và b thỏa mãn điều kiện: a100+b100=a101+b101=a102+b102 Chứng minh rằng: a+b/ab=a^2+b^2/a^2b^2
Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc = 1
Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{2+a}\)+\(\dfrac{1}{2+b}\)+\(\dfrac{1}{2+c}\)≤ 1
\(abc=1\) nên tồn tại các số dương x;y;z sao cho \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{y}{x+2y}+\dfrac{z}{y+2z}+\dfrac{x}{z+2x}\le1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2y}{x+2y}-1+\dfrac{2z}{y+2z}-1+\dfrac{2x}{z+2x}-1\le2-3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{x+2y}+\dfrac{y}{y+2z}+\dfrac{z}{z+2x}\ge1\)
Điều này đúng do:
\(VT=\dfrac{x^2}{x^2+2xy}+\dfrac{y^2}{y^2+2yz}+\dfrac{z^2}{z^2+2xz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=1\)
Đúng 1
Bình luận (1)
Cho các số dương a,b thỏa mãn a2012+b2012=a2010+b2010.Chứng minh rằng a2+b2 nhỏ hơn hoặc bằng 2.
Cho hai số nguyên dương \(a;b\) với \(b>1\) và thỏa mãn điều kiện \(A=\dfrac{a^2}{2.a.b^2-b^3+1}\) là số nguyên dương. Chứng minh rằng \(A\) là số chính phương.
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán gợi ý giúp đỡ em với ạ!
Em cám ơn nhiều lắm ạ!
\(\dfrac{a^2}{2ab^2-b^3+1}=m\in Z^+\Rightarrow a^2-2mb^2a.+mb^3-m=0\)
\(\Rightarrow\Delta=4m^2b^4-4mb^3+4m\) là SCP (1)
Ta dễ dàng chứng minh được:
\(4m^2b^4-4mb^3+4m>\left(2mb^2-b-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4m\left(b^2+1\right)>\left(b+1\right)^2\)
Đúng do: \(2m.2\left(b^2+1\right)\ge2m\left(b+1\right)^2>\left(b+1\right)^2\)
Tương tự, ta cũng có: \(4m^2b^4-4mb^3+4m< \left(2mb^2-b+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2+4m\left(b^2-1\right)>0\) (luôn đúng với b>1;m>0)
\(\Rightarrow\left(2mb^2-b-1\right)^2< 4m^2b^4-4mb^3+4m< \left(2mb^2-b+1\right)^2\)
\(\Rightarrow4m^2b^4-4mb^3+4m=\left(2mb^2-b\right)^2\)
\(\Rightarrow b^2=4m\)
\(\Rightarrow b\) chẵn \(\Rightarrow b=2k\Rightarrow m=k^2\)
Thế vào (1) \(\Rightarrow a^2-8k^4a+8k^5-k^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-k\right)\left(a-8k^4+k\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=k\\a=8k^4-k\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm của pt là: \(\left(a;b\right)=\left(k;2k\right);\left(8k^4-k;2k\right)\) với k nguyên dương
Đúng 0
Bình luận (1)
cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=6. chững minh rằng: ab/6+a-c +bc/6+b-a + ca/6+c-b <=2
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{ab}{6+a-c}=\frac{ab}{a+b+c+a-c}=\frac{ab}{2a+b}\)
\(=\frac{ab}{a+a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{a}+\frac{ab}{a}+\frac{ab}{b}\right)=\frac{1}{9}\left(2b+a\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{bc}{6+b-a}\le\frac{1}{9}\left(2c+b\right);\frac{ca}{6+c-b}\le\frac{1}{9}\left(2a+c\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\le\frac{1}{9}\cdot3\left(a+b+c\right)=\frac{1}{3}\cdot\left(a+b+c\right)=\frac{6}{3}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=2\)
Đúng 0
Bình luận (0)