Chứng minh AECD và BFCD là tứ giác nội tiếp:Ta có: $\angle AEC = 90^\circ$ (vì $CE \perp MA$) và $\angle ADC = 90^\circ$ (vì $CD \perp AB$).Tương tự, ta có: $\angle BFC = 90^\circ$ và $\angle BDC = 90^\circ$.Vì $MA$ và $MB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên $\angle AMB = 180^\circ - \angle AOB$ (tương đương với $\angle AMB = \angle AOC$ và $\angle BMA = \angle BOC$).Do đó, $\angle AEC + \angle BFC = \angle AMB = \angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$.Từ đó suy ra tứ giác $AECD$ và $BFCD$ là tứ giác nội tiếp.Chứng minh $CD^2 = CE \times CF$:Ta có: $\angle CED = \angle CAD$ (vì $AECD$ là tứ giác nội tiếp) và $\angle CFD = \angle CBD$ (vì $BFCD$ là tứ giác nội tiếp).Vì $MA$ và $MB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên $MA = MB$ và $\angle AMB = 180^\circ - \angle AOB$.Do đó, $\triangle AMB \sim \triangle ADC$ và $\triangle BMA \sim \triangle BDC$.Từ đó suy ra: $\frac{CE}{CD} = \frac{AE}{AD} = \frac{MB}{AD}$ và $\frac{CF}{CD} = \frac{BF}{BD} = \frac{MA}{BD}$.Nhân hai vế của hai phương trình trên ta được: $CE \times CF = \frac{MB \times MA}{AD \times BD} \times CD^2$.Vì $\triangle ABD \sim \triangle AMC$ nên $\frac{MB \times MA}{AD \times BD} = \frac{AC^2}{AD^2}$.Từ đó suy ra: $CE \times CF = \frac{AC^2}{AD^2} \times CD^2$.Nhân hai vế của phương trình trên với $AD^2$ ta được: $AD^2 \times CE \times CF = AC^2 \times CD^2$.Do đó, $CD^2 = \frac{AD^2 \times CE \times CF}{AC^2}$.Vì $

a.Có MA,MB là tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M (gt)
=> MA=MB
Có MA,MC là tiếp tuyến của (O') cắt nhau tại M (gt)
=> MA=MC
Bắc cầu ta được MA=MB=MC

1: Xét (O) có

MA là tiếp tuyến

MB là tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

hay M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

nên O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO\(\perp\)AB

Gọi G là giao điểm của OM và AB

=>MO vuông góc với AB tại G

\(AM=R\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}OG=\dfrac{R^2}{2R}=\dfrac{R}{2}\\GM=2R-\dfrac{R}{2}=\dfrac{3}{2}R\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow AG=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{2R}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}S_{AGM}=S_{BGM}=\dfrac{AG\cdot GM}{2}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{3R}{2}:2=\dfrac{3R^2\sqrt{3}}{8}\\S_{OGA}=S_{OGB}=\dfrac{OG\cdot GB}{2}=\dfrac{R}{2}\cdot\dfrac{R\sqrt{3}}{2}:2=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{8}\end{matrix}\right.\)

\(S_{AOBM}=2\cdot\left(S_{AGM}+S_{OGA}\right)=2\cdot\dfrac{4R^2\sqrt{3}}{8}=R^2\sqrt{3}\)

2: Xét tứ giác NHBI có 

\(\widehat{NHB}+\widehat{NIB}=180^0\)

Do đó: NHBI là tứ giác nội tiếp

Suy ra: \(\widehat{NHI}=\widehat{NBA}\)

a: Xét tứ giác OEAM có \(\widehat{OEM}=\widehat{OAM}=90^0\)

nên OEAM là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔMAB và ΔMCA có

\(\widehat{MAB}=\widehat{MCA}\)

\(\widehat{AMB}\) chung

Do đó: ΔMAB\(\sim\)ΔMCA

Suy ra: MA/MC=MB/MA

hay \(MA^2=MB\cdot MC\)