Cho đường tròn $(O ; R)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến $A B, A C$ ($B, C$ là các tiếp điểm) và vẽ cát tuyến $A E F$ không đi qua tâm $O(E$ nằm giữa $A$ và $F$) của đường tròn $(O ; R)$. Gọi $H$ là giao điểm của $A O$ và $B C$.

1) Chứng minh tứ giác $A B O C$ nội tiếp.

2) Chứng minh tam giác $A B E$ và tam giác $A F B$ đồng dạng với nhau và $A B . B F=A F . B E$.

3) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $E F H$ và $M$ là trung điểm của $H O$. Chứng minh $M I \perp H O$.

(3 điểm)

1. Cho tam giác ${ABC}$ có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn $({O} ; {R})$ và hai đường cao ${AE}$, ${BF}$ cắt nhau tại ${H}$, $(E \in B C, F \in A C)$.

a) Chứng minh rằng bốn điểm ${A}, \, {B}, \, {E}, \, {F}$ cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh rằng: $O C \perp E F$.

2. Cho tam giác ${ABC}$ có $\widehat{B}$, $\widehat{C}$ là các góc nhọn và có diện tích không đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ${P}=2 B C^{2}+A C^{2}+A B^{2}$. 

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn(O). Đường cao AH cắt đường tròn ở D.
a) Vì sao AD là đường kính của đường tròn(O)

b) Tính góc ∠ACD
c) Cho BC = 24cm; AC = 20cm. Tính đường cao AH và bán kính đường tròn(O)

Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi M là trung điểm BC. Giả sử O nằm trong tam giác AMC hoặc O nằm giữa A và M. Gọi I là trung điểm AC. CMR:

a) Chu vi tam giác IMC lớn hơn 2R
b) Chu vi tam giác ABC lớn hơn 4R

Bài 3: Cho tam giác ABC có D, E, F theo thứ tự là trung điểm BC, CA, AB. G, H, I theo thứ tự là chân đường cao từ đỉnh A, B, C. Trực tâm tam giác ABC là S. J, K, L theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC. Chứng minh rằng: 9 điểm D, E, F, G, H, I, J, K, L cùng thuộc đường tròn. ( Gợi ý: đường tròn đường kính JD)
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp(O), H là trực tâm tam giác ABC. Gọi D, E, F thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB. Đường tròn tâm D bán kính DH cắt BC tại A1, A2, đường tròn tâm E bán kính EH cắt CA tại B1, B2, đường tròn tâm F bán kính FH cắt AB tại C1, C2.

a) : Chứng minh 3 đường thẳng DD' , EE' , FF' đồng quy ( DD' song song với OA, EE' song songvới OB, FF' song song với OC ).

b) Chứng minh 6 điểm A1, A2, B1, B2, C1, C2 nằm trên một đường tròn.

BT1: Cho tam giác ABC ( AB< AC) nội tiếp đường tròn tâm O . Ba đường cao AH, BE, CF cắt nhau tại I. Kẻ đường kính AD của đường tròn O, gọi M là trung điểm BC.

a/ Chứng minh: 4 điểm B, F, E, C cùng nằm trên một đường tròn

b/ Chứng minh : EF < BC

c/ Tứ giác BICD là hình gì ? Vì sao ?

d/ Chứng minh : OM = AI / 2

BT2: Cho đường tròn tâm O, điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai đường thẳng cắt đường tròn, đường thứ nhất cắt đường tròn tại M và N ( M nằm giữa A và N ), đường thứ 2 cắt đường tròn tại E và F ( E nằm giữa A và F ) sao cho MN = EF. Kẻ OH vuông góc MN, OK vuông góc EF.

a/ So sánh AH và AK

b/ Chứng minh : AM = AE

c/ Tứ giác MEFN là hình gì ? Vì sao ?