1: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó:MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB

2: Ta có: ΔOAM vuông tại A

=>\(AO^2+AM^2=OM^2\)

=>\(AM^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)

Xét ΔAMO vuông tại A có AH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MA^2\)

=>\(MH\cdot MO=3R^2\)

3:

Xét ΔOAM vuông tại A có \(sinAMO=\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{1}{2}\)

nên \(\widehat{AMO}=30^0\)

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MO là phân giác của góc AMB

=>\(\widehat{AMB}=2\cdot\widehat{AMO}=2\cdot30^0=60^0\)

Xét ΔMAB có MA=MB và \(\widehat{AMB}=60^0\)

nên ΔMAB đều

4: Xét (O) có

\(\widehat{MAI}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AI

\(\widehat{IKA}\) là góc nội tiếp chắn cung AI

Do đó: \(\widehat{MAI}=\widehat{IKA}\)

Xét ΔMAI và ΔMKA có

\(\widehat{MAI}=\widehat{MKA}\)

\(\widehat{AMI}\) chung

Do đó: ΔMAI đồng dạng với ΔMKA

=>\(\dfrac{MA}{MK}=\dfrac{MI}{MA}\)

=>\(MA^2=MI\cdot MK\)

mà \(MA^2=MH\cdot MO\)

nên \(MI\cdot MK=MH\cdot MO\)

Ta có: \(\widehat{MAI}+\widehat{OAI}=\widehat{OAM}=90^0\)

\(\widehat{HAI}+\widehat{OIA}=90^0\)(ΔAHI vuông tại H)

mà \(\widehat{OAI}=\widehat{OIA}\)(ΔOAI cân tại O)

nên \(\widehat{MAI}=\widehat{HAI}\)

=>AI là phân giác của góc MAH

a/

Xét tg vuông AMO và tg vuông BMO có

MA=MB (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn)

OA=OB=R

=> tg AMO = tg BMO (2 tg vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{AMO}=\widehat{BMO}\)

Xét tg MAB có

MA=MB (cmt) => tg MAB cân tại M

\(\widehat{AMO}=\widehat{BMO}\) (cmt)

\(\Rightarrow OM\perp AB\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

Xét tg vuông AMO có

\(AM^2=MO.MH\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giưa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

b/

Ta có \(\widehat{ADC}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) => tg ACD vuông tại D \(\Rightarrow AD\perp MC\)

Xét tg vuông AMC có

\(AM^2=MD.MC\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giưa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Ta có

\(AM^2=MO.MH\) (cmt)

\(\Rightarrow MH.MO=MD.MC\)

c/ Xét tg AMK có

\(OM\perp AB\left(cmt\right)\Rightarrow OH\perp AK\)

\(AD\perp MC\left(cmt\right)\Rightarrow AD\perp MK\)

\(\Rightarrow KI\perp AB\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)

Phần còn lại không biết điểm E là điểm nào?

Xét (O) có

OC là bán kính

FC\(\perp\)CO tại C

Do đó: FC là tiếp tuyến của (O)

Xét (O) có

FC,FA là các tiếp tuyến

Do đó: FC=FA và OF là phân giác của góc AOC

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB và OM là phân giác của góc AOB

Ta có: OF là phân giác của góc AOC

=>\(\widehat{AOC}=2\cdot\widehat{AOF}\)

Ta có: OM là phân giác của góc AOB

=>\(\widehat{AOB}=2\cdot\widehat{AOM}\)

Ta có: \(\widehat{AOB}+\widehat{AOC}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\left(\widehat{AOF}+\widehat{AOM}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{FOM}=180^0\)

=>\(\widehat{FOM}=90^0\)

Xét ΔFOM vuông tại O có OA là đường cao

nên \(AF\cdot AM=OA^2\)

mà AF=CF và BM=MA

nên \(CF\cdot MB=OA^2=R^2\)

a: Xét (O) có 

MA là tiếp tuyến

MB là tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

hay M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

nên O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AB

hay OM⊥AB

a: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AB

=>OM\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB

b: Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(HO\cdot HM=HA^2\)

=>\(HO\cdot HM=\left(\dfrac{1}{2}AB\right)^2=\dfrac{1}{4}AB^2\)

c: Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OA^2=OD^2\left(3\right)\)

Xét ΔOIM vuông tại I và ΔOHE vuông tại H có

\(\widehat{HOE}\) chung

Do đó: ΔOIM đồng dạng với ΔOHE

=>\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OM}{OE}\)

=>\(OI\cdot OE=OH\cdot OM\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(OI\cdot OE=OD^2\)

=>\(\dfrac{OI}{OD}=\dfrac{OD}{OE}\)

Xét ΔOID và ΔODE có

\(\dfrac{OI}{OD}=\dfrac{OD}{OE}\)

\(\widehat{DOE}\) chung

DO đó: ΔOID đồng dạng với ΔODE
=>\(\widehat{OID}=\widehat{ODE}=90^0\)

=>ED là tiếp tuyến của (O)

a: Xét ΔOAM vuông tại A có 

\(OM^2=OA^2+AM^2\)

hay \(AM=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)