Do giá trị tuyệt đối \(2x^4+3x^2+1\)và giá trị tuyệt đói của \(-2x^4-x^2+1\)luôn \(\ge\)0 với mọi x ,y 

nên A = \(2x^4+3x^2+1+2x^4+x^2-1\)

\(=4x^4+4x^2=4\left(x^4+x^2\right)\)

Do \(x^4+x^2\ge\)0 với mọi x 

\(\Rightarrow\)\(4\left(x^4+x^2\right)\)\(\ge\)0 với mọi x 

\(\Rightarrow\)A \(\ge\)0 với mọi x 

\(\Rightarrow\) A không âm với mọi x (đpcm)

Đặt x²+1=a(a\(\ge1\))

=> A= a⁴+9a³+21a²-a-30

        =(a-1)(a³+10a²+31a+30)

Do a\(\ge1\)=>\(\hept{\begin{cases}a-1\ge0\\a^3+10a^2+31a+30>0\end{cases}}\)

=> A\(\ge0\)(ĐPCM)

Vì \(x^2-4x+5=x^2-4x+4+1=\left(x-2\right)^2+1\ge1>0\) với mọi giá trị của \(x\) nên giá trị của biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị khác 0 và khác -3 của \(x\)

a: \(=\dfrac{4x-8\sqrt{x}+8x}{x-4}:\dfrac{\sqrt{x}-1-2\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{x}\left(3\sqrt{x}-2\right)}{x-4}\cdot\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{-\sqrt{x}+3}=\dfrac{-4x\left(3\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

b: \(m\left(\sqrt{x}-3\right)\cdot B>x+1\)

=>\(-4xm\left(3\sqrt{x}-2\right)>\left(\sqrt{x}+2\right)\cdot\left(x+1\right)\)

=>\(-12m\cdot x\sqrt{x}+8xm>x\sqrt{x}+2x+\sqrt{x}+2\)

=>\(x\sqrt{x}\left(-12m-1\right)+x\left(8m-2\right)-\sqrt{x}-2>0\)

Để BPT luôn đúng thì m<-0,3

Lời giải:

$M=\frac{3(x^2+1)+x^2y^2+y^2-2}{(x+y)^2+5}=\frac{3x^2+x^2y^2+y^2+1}{(x+y)^2+5}$

Ta thấy:

$x^2\geq 0; x^2y^2\geq 0; y^2\geq 0$ nên:

$3x^2+x^2y^2+y^2+1\geq 1>0$ với mọi $x\mathbb{Q}, y\in\mathbb{R}$

$(x+y)^2\geq 0\Rightarrow (x+y)^2+5\geq 5>0$ với mọi 

$x\mathbb{Q}, y\in\mathbb{R}$

Do đó: $M>0$ (do cả tử và mẫu đều lớn hơn 0)

Hay $M$ là số dương (đpcm)