Với mọi số thực ta luôn có:

`(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0`

`<=>a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2>=0`

`<=>2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ca)`

`<=>3(a^2+b^2+c^2)>=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)`

`<=>3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2=4`

`<=>a^2+b^2+c^2>=4/3`

Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c=2/3`

~Quang Anh Vũ~

\(A=2017+a^2+b^2+c^2\ge2017+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=2020\)

\(A_{min}=2020\) khi \(a=b=c=1\)

Điền số thích hợp vào ô trống : 10/12 < 17/ ? < 10/11

Dùng cái này:

Do:  với mọi a > 0.

Nên:  (*)

Áp dụng BĐT (*)...

Ta có :

(2a+3)(a-3)² \(\ge\) 0 <=> (2a+3)(a² -6a+9) \(\ge\) 0

<=> 2a³ - 12a² +18a +3a³ -18a+7 <=> 2a³ - 9a² + 27 \(\ge\) 0

Dấu " = " xảy ra <=> x=3

Tương tự ta có : 2b³ -9b² +27 \(\ge\) 0; 2c³-9c²+27\(\ge\) 0

Mà a² +b² + c² =27 (gt)

Do đó : 2(a³+b³+c³)-9(a²+b²+c²)+27.3 \(\ge\) 0

<=> 2( a³ + b³ +c³)\(\ge\) 6.27 <=> a³+b³+c³ \(\ge\) 81

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=3

Vậy GTNN của S= a³+b³+c³ là 81

\(a^3+b^3+c^3-3abc=1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=1\) (1)

Do \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca>0\Rightarrow a+b+c>0\)

(1)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\dfrac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca+\dfrac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2=\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{a+b+c}\ge3\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge1\)

bạn kiểm tra lại xem có sai đề không