Gọi giao điểm của 2 tia EC và BI là F, nối FA.

Xét \(\Delta\)BAI và \(\Delta\)FCI có: AI=CI; ^BAI = ^FCI; ^AIB = ^CIF => \(\Delta\)BAI=\(\Delta\)FCI (g.c.g)

=> AB=CF (2 cạnh tương ứng).

Ta có: AB vuông AC; CE vuông AC => AB // CE hay AB // CF

Xét tứ giác ABCF: AB // CF; AB=CF => Tứ giác ABCF là hình bình hành

=> AF // BC. Mà EI vuông BC nên  EI vuông AF.

Xét \(\Delta\)AEF: AC vuông EF; EI vuông AF; điểm I thuộc AC => I là trực tâm \(\Delta\)AEF

=> FI vuông AE. Lại có: Tứ giác ABCF là hình bình hành;  I là trung điểm đường chéo AC

=> 3 điểm F;I;B thẳng hàng. Vậy khi FI vuông AE thì BI cũng vuông AE (đpcm).

Gọi D là giao điểm của AB và IE

\(\Delta\)BDC có hai đường cao DI và CA cắt nhau tại I nên I là trực tâm của ​\(\Delta\)BDC

=> BI vuông góc CD (1)

Xét \(\Delta\)IAD và \(\Delta\)ICE có:

     ^IAD = ^ICE ( = 90⁰)

     IA = IC

     ^AID = ^CIE (đối đỉnh)

Do đó ​\(\Delta\)IAD = \(\Delta\)ICE (g.c.g)

=> ID = IE (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta\)AIE và \(\Delta\)CID có:

     AI = CI (gt)

    ^AIE = ^CID (đối đỉnh)

    DI = EI (cmt)

Do đó \(\Delta\)AIE = \(\Delta\)CID (c.g.c)

=> ^IAE = ^ICD (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí slt nên AE //CD (2)

​Từ (1) và (2) suy ra BI vuông góc AE (đpcm)

cc

a: Xet ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có

BD chung

góc ABD=goc EBD

=>ΔBAD=ΔBED

b: BA=BE

DA=DE

=>BD là trung trực của AE

c: Xét ΔBMN có

NA là trung tuýen

NI=2/3NA

=>I là trọng tâm

=>MI đi qua trung điểm của BN

Hình như hiễn thị cô ạ, thêm (<AC.Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với AB,từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, hai đường này cắt nhau tại I. Gọi E là giao điểm của AI và BC.)

Thái sơn năm nay chắc lên lớp 8 rồi nên tớ làm theo cách lớp 8 nhé!

a) Xét tứ giác ABCI

\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{ABI}+\widehat{ACI}+\widehat{BIC}=360^o\left(dl\right)\)

\(\Leftrightarrow90^o+90^o+90^o+\widehat{BIC}=360^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BIC}=360^o-\left(90^o+90^o+90^o\right)=90^o\)

Ta dễ dàng chứng minh được AC//BI ( \(\widehat{BAC}+\widehat{ABI}=90^o+90^o=180^o\) Nằm ở vị trí trong cùng phía bù nhau)

Ta dễ dàng chứng minh được AB//CI ( \(\widehat{ACI}+\widehat{BIC}=90^o+90^o=180^o\)Nằm ở vị trí trong cùng phía bù nhau)

Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta BIC\)có

\(\widehat{CBI}=\widehat{ACB}\left(AC//BI\right)\)

BC là cạnh chung

\(\widehat{ICB}=\widehat{CBA}\left(AB//CI\right)\)

=> \(\Delta ABC\)=\(\Delta BIC\)(G-C-G)

=> AC = BI 

=> AB = CI

Xét tứ giác ABCI

Có \(\widehat{BAC}=\widehat{ABI}=\widehat{ACI}=\widehat{BIC}=90^o\)

VÀ AC = BI ; AB = CI

=> Tứ giác ABCI là hình chữ nhật

=>Hai đường chéo BC và AI cắt nhau tại E 

=> E là trung điểm của BC và AI

\(\Rightarrow AE=\frac{1}{2}BC\left(DPCM\right)\) 

Câu b,c tối mình sẽ suy nghĩ sau