Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Đỗ Thị Kim Tiến
Xem chi tiết
Yen Nhi
19 tháng 9 2021 lúc 9:59

Chứng minh rằng: \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+3ab\left(a+b\right)+b^3\)

\(\Rightarrow a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\) (1)

Thay (1) vào ta được

\(\left(a^3+b^3+c^3\right)-3ab=\left(a^3+b^3\right)+c^3-3ab\)

\(=\left(a^3+b^3\right)+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Lê Thành Tín
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Anh Minh
17 tháng 11 2021 lúc 14:12

Ta có

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{bc+ac+ab}{abc}=0\Rightarrow ab+bc+ac=0.\)

\(A=\frac{\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3+\left(ab\right)^3}{\left(abc\right)^2}\)

Ta có

\(\left(ab\right)^3+\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3-3\left(abc\right)^2=\)

\(=\left(ab+bc+ac\right)\left[\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2-abbc-bcac-abac\right]=0\)

\(\Rightarrow\left(ab\right)^3+\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3=3\left(abc\right)^2\)

\(\Rightarrow A=\frac{3\left(abc\right)^2}{\left(abc\right)^2}=3\)

Khách vãng lai đã xóa
Dịu Kun
Xem chi tiết
Yeutoanhoc
28 tháng 6 2021 lúc 16:46

`(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)`

`<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)`

`<=>a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`

`<=>2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca`

`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0`

`VT>=0`

Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c`

Yeutoanhoc
28 tháng 6 2021 lúc 16:53

`a^3+b^3+c^3=3abc`

`<=>a^3+b^3+c^3-3abc=0`

`<=>(a+b)^3+c^3-3abc-3ab(a+b)=0`

`<=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0`

`<=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0`

`**a+b+c=0`

`**a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`

`<=>a=b=c`

Nguyễn Quốc Bảo
Xem chi tiết
Võ Đông Anh Tuấn
21 tháng 10 2016 lúc 9:55

- Phân tích ra nhân tử :

\(a^3+b^3+c^3-3abc=a^3+b^3+c^3+3a^2b-3ab^2+3ab^2-3ab^2-3abc\)\(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\right]\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)

Từ đây ta có \(A=\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac}\)

\(\Rightarrow A=a+b+c\)

 

 

 

 

Đạt
Xem chi tiết
Võ Đông Anh Tuấn
29 tháng 11 2016 lúc 10:55

Áp dụng hằng đẳng thức

\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)

Do \(a^3+b^3+c^3=3abc\) nên \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0.\)

Do đó : \(\left[\begin{array}{nghiempt}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\end{array}\right.\)

Nếu \(a+b+c=0\) thì do \(a,b,c\ne0\),ta có :

\(P=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{a+c}{a}=\frac{-c}{b}.\frac{-a}{c}.\frac{-b}{a}=-1\)

Nếu \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\) thì ta suy ra

\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)

Điều này chỉ xảy ra khi \(a-b=0;b-c=0;a-c=0\Leftrightarrow a=b=c.\)

Khi đó \(P=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\).

Vậy \(P=-1\) hoặc \(P=8.\)

Nguyễn Công Minh Hoàng
Xem chi tiết
Witch Rose
23 tháng 6 2019 lúc 10:07

\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)\(=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

T.Ps
23 tháng 6 2019 lúc 10:08

#)Giải :

Ta có : (a + b + c)(a+ b+ c- ab - bc - ca) 

= a3 + ab+ ac2 - a2b - abc - ca2 + a2b + b3 + bc2 - ab2 - b2c - abc + a2c + cb2 + c3 - abc - bc2 - c2a

Loại bỏ các hạng tử đồng dạng, ta được : 

= a3 + b3 + c3 - 3abc

=> a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a+ b+ c- ab - bc - ca)  => đpcm

Nguyễn Hoàng Phương Nhàn
Xem chi tiết
Việt Hoàng ( Tiếng Anh +...
20 tháng 9 2018 lúc 21:55

a+b+c=0

=>(a+b+c)3=0

=>a3+b3+c3+3a2b+3ab2+3b2c+3bc2+3a2c+3ac2+6abc=0

=>a3+b3+c3+(3a2b+3ab2+3abc)+(3b2c+3bc2+3abc)+(3a2c+3ac2+3abc)-3abc=0

=>a3+b3+c3+3ab(a+b+c)+3bc(a+b+c)+3ac(a+b+c)=3abc

Do a+b+c=0

=>a3+b3+c3=3abc(ĐPCM)

Nguyễn Anh Kim Hân
Xem chi tiết
NBH Productions
15 tháng 1 2019 lúc 12:51

\(ab+bc+ca=3abc\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)

Đặt \(\dfrac{1}{a}=x;\dfrac{1}{b}=y;\dfrac{1}{c}=z\)\(\Rightarrow x+y+z=3\)

\(VT=\sum\dfrac{xyz}{yz+x^2}\le\sum\dfrac{xyz}{2x\sqrt{yz}}=\dfrac{1}{2}\sum\sqrt{yz}\le\dfrac{1}{2}\sum x=\dfrac{3}{2}\)

Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Hiền
14 tháng 12 2018 lúc 21:10

Ta có :

\(a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2-3a^2b-3ab^2-3abc\)

\(=\left[\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)+c^3\right]-\left(3a^2b+3ab^2+3abc\right)\)

\(=\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left\{\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]\right\}-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left[\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac}\)

\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac}\)

\(=a+b+c\)

\(=2014\)

Vậy P = 2014