Bài 13: Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD và CE. Lấy các điểm H,K sao cho E là trung điểm của CH, D là trung điểm của BK. Chứng minh. a)Các tử giác AHBC, AKCB là hình bình hành b)A là trung điểm của HK
Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD, CE. Lấy điểm H, K sao cho E là trung điểm CH, D là trung điểm của BK. Chứng minh:
a) Chứng minh tứ giác AHBC, AKCB là hình bình hành.
b) A là trung điểm HK
a: Xét tứ giác AHBC có
E là trung điểm chung của AB và HC
=>AHBC là hình bình hành
Xét tứ giác ABCK có
D là trung điểm chung của AC và BK
=>ABCK là hình bình hành
b: Ta có: AHBC là hình bình hành
=>AH//BC và AH=BC
Ta có: ABCK là hình bình hành
=>AK//BC và AK=BC
Ta có: AH//BC
AK//BC
HA,AK có điểm chung là A
Do đó: H,A,K thẳng hàng
Ta có: AH=BC
AK=BC
Do đó: AH=AK
mà H,A,K thẳng hàng
nên A là trung điểm của HK
Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE. Vẽ các điểm H vsf K sao cho E là trung điểm của CH, D là trung điểm của BK. Chứng minh rằng A là trung điểm của HK
1/ Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC. Gọi H K theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AM. Chứng minh BHCK là hình bình hành và CH//BK
2/ Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE. Vẽ các điểm H và K sao cho E là trung điểm CH, D là trung điểm BK. Chứng minh A là trung điểm HK
3/ Cho hình bình hành ABCD (góc B < 90o). Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các tam giác vuông cân tại B là ABE và CBF. Chứng minh rằng DB= EF; DB vuông góc EF.
Vẽ hình dùm mình luôn nha!
Bài 2:
Dễ dàng chứng minh \(\Delta\)BEC = \(\Delta\)AEH (c.g.c) và \(\Delta\)CDB = \(\Delta\)ADK
Suy ra HA = BC. và KA = BC từ đó suy ra HA = KA (1)
Do ED là đường trung bình tam giác BAK nên ED // AK (2)
Do ED là đường trung bình tam giác HCA nên ED // AH (3)
Từ (2) và (3) theo tiên đề Ơclit suy ra A, H, K thẳng hàng (4)
Từ (1) và (4) suy ra đpcm.
Bài 1:
Hình như hơi dư thừa nhỉ? BHCK là hình bình hành thì hiển nhiên CH//BK rồi mà. Đúng hay sai thì tùy!
Giải
Dễ dàng chứng minh \(\Delta\)BMH = \(\Delta\)CMK (cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra ^MBH = ^MCK. Mà hai góc này ở vị trị so le trong nên BH // CK (1) và MH = MK
Xét \(\Delta\)BMK và \(\Delta\)CMH có:
MH = MK (chứng minh trên)
^BMK = ^HMC
BM = CM (do M là trung điểm BC)
Suy ra \(\Delta\)BMK = \(\Delta\)CMH (c.g.c)
Suy ra ^MBK = ^MCH. Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên BK // CH (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành (đpcm)
Bài 3:
(so với mấy bài kia hình bài này người ra đề cho chẳng đẹp chút nào:( cộng với kỹ năng vẽ xấu của mình thì nó còn xấu thế :v)
Từ đề bài ta có AD = BC (do ABCD là hình bình hành); BC = BF (do tam giác CBF vuông cân tại B) (chỗ này mình không canh mãi mà nó vẫn ko bằng trên hình vẽ). Do đó AD = BF (cùng bằng BC)
Mặt khác tam giác ABE vuông cân tại B nên AB = AE
Do AD // BC nên ^DAB + ^ABC = 180o(1)
Mặt khác ta có ^ABC + ^EBF = 360o - (^ABE + ^CBF) = 180o (2)
Từ (1) và (2) suy ra ^DAB = ^EBF (cùng bù với ^ABC)
Từ đây ta dễ dàng chứng minh được tam giác ADB = tam giác FBE (c.g.c)
Suy ra DB = EF.
b) Chịu
Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi H là trung điểm của GB, K là trung điểm của GC
a) Chứng minh rằng tứ giác DEHK là hình bình hành
b) Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật
c) Nếu các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau thì tứ giác DEHK là hình gì ?
a)
BD là đường trung tuyến của Δ ABC nên D là trung điểm của AC (1)
CE là đường trung tuyến của Δ ABC nên E là trung điểm của AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
DE là đường trung bình của Δ ABC
=> DE // BC và DE = 1/2 BC
Δ BGC có H là trung điểm của GB và K là trung điểm của GC
suy ra HK là đường trung bình của Δ BGC
=> HK // BC và HK = 1/2 BC
Tứ giác DEHK có DE//BC, HK // BC và DE = HK = 1/2 BC
nên tứ giác
b) DEHK là hình bình hành nên
HG = GD = 1/2 HD và GE = GK = 1/2 EK
Để tứ giác DEHK là hình chữ nhật thì
HD = EK => 1/2 HD = 1/2 EK => GE = GD và GH = GK
GH = GK => 2GH = 2GK => GB = GC
Xét Δ GEB và Δ GDC có
GE = GD Góc EGB = góc DGC GB = GC => ΔGEB = ΔGDC (c.g.c) => BE = CD => 2BE = 2CD => AB = AC => ΔABC cân tại A Vậy đểtứ giác DEHK là hình chữ nhật thì
ΔABC cân tại Ac) BD ⊥ CE => HD ⊥ EK Hình bình hành DEHK có HD ⊥ EK nên DEHK là hình thoi Vậy
nếu các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau thì tứ giác DEHK là hình thoi
a)
BD là đường trung tuyến của Δ ABC nên D là trung điểm của AC (1)
CE là đường trung tuyến của Δ ABC nên E là trung điểm của AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
DE là đường trung bình của Δ ABC
=> DE // BC và DE = 1/2 BC
Δ BGC có H là trung điểm của GB và K là trung điểm của GC
suy ra HK là đường trung bình của Δ BGC
=> HK // BC và HK = 1/2 BC
Tứ giác DEHK có DE//BC, HK // BC và DE = HK = 1/2 BC
nên tứ giác
b) DEHK là hình bình hành nên
HG = GD = 1/2 HD và GE = GK = 1/2 EK
Để tứ giác DEHK là hình chữ nhật thì
HD = EK => 1/2 HD = 1/2 EK => GE = GD và GH = GK
GH = GK => 2GH = 2GK => GB = GC
Xét Δ GEB và Δ GDC có
GE = GD Góc EGB = góc DGC GB = GC => ΔGEB = ΔGDC (c.g.c) => BE = CD => 2BE = 2CD => AB = AC => ΔABC cân tại A Vậy đểtứ giác DEHK là hình chữ nhật thì
ΔABC cân tại Ac) BD ⊥ CE => HD ⊥ EK Hình bình hành DEHK có HD ⊥ EK nên DEHK là hình thoi Vậy
nếu các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau thì tứ giác DEHK là hình thoi
Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE. Vẽ các điểm H và K sao cho Elà trung điểm của CH, D là trung điểm của BK.
CMR A là trung điểm của HK
xét tg HAE và tg CEB:
HE=EC ( gt )
AE=EB (gt )
góc HEA=góc BEC ( đối đỉnh )
=> tg HAE= tg CEB ( c-g-c )
=> HA=BC ( 2 cạnh tương ứng ) ( 1)
=> góc HAE=góc EBC ( 2 góc tương ứng ) (2)
xét tương tự tg AKD và tg CBD ( tự chứng minh 2 tg bằng nhau)
=> AK= BC ( 2 cạnh tương ứng ) ( 3)
=> góc KAD= góc DCB ( 2 cạnh tương ứng ) ( 4)
từ (1) và (2) => HA=AK ( * )
từ (3) và (4 ) => góc HAE + góc BAC = góc KAD = góc ACB + góc ABC + góc BAC = 180 độ ( tổng 3 góc trog hình tg )
=> H,A,K thẳng hàng ( ** )
từ ( *) và ( ** ) => A là tđ của HK
Cho tam giác ABC các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi H là đường trung điểm của GB, K là trung điểm của GC.
a. Chứng minh: Tứ giác DEHK là hình bình hành.
b. Nếu tam giác ABC cân tại A. Chứng minh: BD=CE và DEHK là hình chữ nhật.
\(a,\) Vì E,D là trung điểm AB,AC nên ED là đường trung bình tam giác ABC
Do đó \(ED//BC;ED=\dfrac{1}{2}BC(1)\)
Vì H,K là trung điểm GB,GC nên HK là đường trung bình tam giác BGC
Do đó \(HK//BC;HK=\dfrac{1}{2}BC(2)\)
Từ \((1)(2)\Rightarrow HK//ED;HK=ED\)
Vậy DEHK là hình bình hành
\(b,\Delta ABC\) cân tại A nên \(AB=AC\Rightarrow \dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC\)
\(\Rightarrow AE=EB=AD=DC\)
Ta có \(AB=AC;AE=AD;\widehat{BAC}\) chung
\(\Rightarrow \Delta ADB=\Delta AEC(c.g.c)\\ \Rightarrow BD=EC\)
Lại có G là trọng tâm tam giác ABC nên \(CK=KG=GE=\dfrac{1}{3}CE\)
\(BH=HG=GD=\dfrac{1}{3}BD\)
Do đó \(KG+GE=HG+GD(\dfrac{2}{3}BD=\dfrac{2}{3}CE)\)
\(\Rightarrow EK=HD\)
Vậy DEHK là hình chữ nhật
Bài 1: Cho tam giác ABC, các trung tuyến BM, CN. Vẽ điểm D sao cho M là trung điểm của BD; vẽ điểm E sao cho N là trung điểm của EC. a) Chứng minh: tứ giác ABCD là hình bình hành; b) Chứng minh: AE // BC;
a: Xét tứ giác ABCD có
M là trung điểm chung của AC và BD
=>ABCD là hình bình hành
b: Xét tứ giác AEBC có
N là trung điểm chung của AB và EC
=>AEBC là hình bình hành
=>AE//BC
Cho tam giacs ABC các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G.Gọi H là trung điểm của GB và K là trung điểm của GC
a)Chứng minh tứ giác DEHK là hình bình hành
b) Tam giác ABC có điều kiện gì thì thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật
c) Nếu cá đường trung tuyến Bd và CE vuông góc thì tứ giác DEHK là hình gì ?