Để chứng minh ADEF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh các đẳng thức đường cao AH = trung tuyến AE và hình chiếu D, F của E trên AB, AC vuông góc với AB, AC.

a) Chứng minh AH = AE: Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên đường cao AH cũng là đường cao của tam giác vuông ABC. Do đó, ta có AH = BH. Từ tam giác ABC, ta có AE là trung tuyến nên AE = EC. Vậy, AH = AE.

b) Chứng minh AD = AF: Ta có hai tam giác vuông ADE và AFE có cạnh chung AE. Vì AE là trung tuyến nên ta có DE = FE, và góc ADE = góc AFE = 90 độ (do DE và FE vuông góc với AB, AC). Do đó, ta có hai tam giác ADE và AFE đồng dạng (cạnh góc). Từ đó suy ra, AD = AF.

Vì AH = AE và AD = AF, nên tứ giác ADEF là hình chữ nhật.

c) Chứng minh BDFE là hình bình hành: Ta đã chứng minh được AD = AF, nên BD = BF (do AB < AC). Vì DE = EF (vì trung tuyến), và góc EDF = góc EBF = 90 độ (hình chiếu của E trên AB, AC vuông góc với AB, AC), nên ta có hai cạnh và một góc tương đương nhau. Do đó, tứ giác BDFE là hình bình hành.

d) Chứng minh F là trung điểm của AC: Vì AE là trung tuyến của tam giác ABC, nên F là trung điểm của AC.

Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu đề bài.

a: Xét tứ giác ADEF có

góc ADE=góc AFE=góc FAD=90 độ

=>ADEF là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có

E là trung điểm của CB

ED//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

E là trung điểm của CB

EF//AB

Do đó: F là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

D,F lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>DF là đường trung bình

=>DF//BC và DF=1/2BC

c: DF//BC và DF=1/2BC

mà \(E\in BC;BE=\dfrac{1}{2}BC\)

nên DF//BE và DF=BE

Xét tứ giác BDFE có

DF//BE

DF=BE

Do đó: BDFE là hình bình hành

d: Xét ΔABC có

E là trung điểm của CB

EF//AB

Do đó: F là trung điểm của AC

e: Xét ΔABC có

D,E lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>DE là đường trung bình

=>DE=1/2AC

ΔHAC vuông tại H

mà HF là trung tuyến

nên HF=AC/2

=>DE=HF

Xét tứ giác DHEF có

DF//EH

DE=FH

Do đó: DHEF là hình thang cân

Do MD\(\perp\)AB tại D =)\(\widehat{A\text{D}M}\)=90⁰  

Do ME\(\perp\)AC tại E =)\(\widehat{A\text{E}M}\)=90⁰

Do tam giác ABC vuông tại A =) \(\widehat{BAC}\)=90⁰

Xét tứ giác ADME có:

\(\widehat{A\text{D}M}\)=\(\widehat{A\text{E}M}\)=\(\widehat{BAC}\) ( vì cùng bằng 90⁰)

=) ADME là hình chữ nhật

Xét tam giác ABC có :

M là trung điểm của BC

MD // AC

=) D là trung điểm của AB

Xét tam giác ABC có :

M là trung điểm của BC

ME // AB

=) E là trung điểm của AC

Xét tam giác ABC có :

D là trung điểm của AB

E là trung điểm của AC

=) DE là đường trung bình của tam giác ABC

=) DE //BC =) DE //BM  (1)

Và DE=  \(\frac{BC}{2}\)=BM=CM (vì M là trung điểm của BC )   (2)

Từ (1) và (2) =) BDEM là hình bình hành

MÌnh chỉ cần phần d thôi

dễ có tam giác AHB vuông tại H có D là trung điểm của AB=> AD=BD và HD là đường trung tuyến 

áp dụng định lí: trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền => HD=DA=BD=\(\frac{1}{2}\)AB

=> AD=DH hay tam giác ADH cân tại D=> \(\widehat{DAH}\)=\(\widehat{DHA}\)(1)

tương tự dễ có tam giác AHC vuông tại H có E là trung điểm AC=>AE=EC và HE là đường trung tuyến

áp dụng định lí: trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền =>HE=AE=EC=\(\frac{1}{2}\)ÁC

=>AE=HE hay tam giác AEH cân tại E =>\(\widehat{E\text{A}H}\)=\(\widehat{EHA}\)(2)

cộng (1) và (2) theo vế ta được \(\widehat{DA\text{E}}\)=\(\widehat{DHE}\)

mà \(\widehat{DA\text{E}}\)=\(\widehat{BAC}\)=90\(^0\)=> \(\widehat{DHE}\)= 90⁰

a) Xét tứ giác ADHE có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A}=90^o\\\widehat{HDA}=90^o\\\widehat{HEA}=90^o\end{matrix}\right.\)

=> ADHE là h.c.n

b) Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BID}=2\widehat{IHD}\\\widehat{IKE}=2\widehat{KCE}\end{matrix}\right.\)

mà \(\widehat{IHD}=\widehat{KCE}\)

=> \(\widehat{BID}=\widehat{IKE}\) mà 2 góc có vị trí đồng vị

=> DI//EK

=> DEKI là hình thang

a: XétΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)