Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(HB\cdot HC=AH^2\)

=>HB*HC=4^2=16

mà HB+HC=10cm

nên HB,HC là hai nghiệm của phương trình:

\(x^2-10x+16=0\)

=>(x-8)(x-2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=8\\x=2\end{matrix}\right.\)

Do đó, chúng ta sẽ có 2 trường hợp là \(\left[{}\begin{matrix}BH=8cm;CH=2cm\\BH=2cm;CH=8cm\end{matrix}\right.\)

a) Xét tam giác HBA và tam giác ABC có

góc H = góc A (=90 độ)

góc ABC chung

suy ra tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC

b) Áp dụng định lyd Pi ta go vào tam giác vuông ABC có

BC^2= AB^2+AC^2

BC^2=12^2+16^2

BC^2 = 400

BC=căn 400 = 20 cm

+ Ta có tam HBA đồng dạng vs tam giác ABC (cmt)

suy ra HA/AC=BA/BC(t/c 2 tam giác đồng dạng)

suy ra HA/16=12/20

SUY RA HA=(16*12)/20 =9,6cm

c) ta có DE là tia phân giac

suy ra AE/EB=AD/BD 1

VÌ DF là tia p/g

suy ra FC/FADC/AD 2

TỪ 1,2 suy ra EA/EB *DB/DC*EC/FA

suy ra EA/EB*DB/DC*FC/FA =1(đfcm)

a: Xét tư giác BFEC có

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác CDHE có

góc CDH+góc CEH=180 độ

=>CDHE là tứ giác nội tiếp

b: CDHE là tứ giác nội tiếp

=>gó BED=góc FCB

góc FEH=góc BAD

mà góc FCB=góc BAD

nên góc BED=góc FEB

=>EB là phân giác của góc FED

c: góc IEO=góc IEH+góc OEH

=góc IHE+góc OBE

=góc BHD+góc CBH=90 độ

=>IE là tiếp tuyến của (O)

a, Xét \(\Delta AHM\) và \(\Delta AKM\) có:

\(\widehat{AHM}=\widehat{AKM}=90^o\)

AM cạnh chung

\(\widehat{HAM}=\widehat{KAM}\) (vì AM là tia phân giác của \(\widehat{HAK}\))

\(\Rightarrow\Delta AHM=\Delta AKM\) (cạnh huyền - góc nhọn)

`=> AH = AK` (2 cạnh tương ứng)  (1)

Ta có: \(\widehat{AMK}+\widehat{KAM}=90^o\) (vì \(\Delta AKM\) vuông tại K)

          \(\widehat{KAM}+\widehat{BAM}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AMK}=\widehat{BAM}\)

Mà \(\widehat{AMK}=\widehat{AMB}\) (vì \(\Delta AHM=\Delta AKM\))

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{AMB}\)

\(\Rightarrow\Delta ABM\) cân tại B \(\Rightarrow AB=BM\)  (2)

Từ (1), (2) ta có đpcm

b, Xét \(\Delta HIM\) và \(\Delta CKM\) có:

\(\widehat{HMI}=\widehat{CMK}\) (2 góc đối đỉnh)

HM = KM (vì \(\Delta AHM=\Delta AKM\))

\(\widehat{IHM}=\widehat{CKM}\left(=90^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta HIM=\Delta KCM\left(g.c.g\right)\)

`=> HI = CK` (2 cạnh tương ứng)

Mà AH = AK (cmt)

`=> AH + HI = AK + CK`

`=> AI = AC`

\(\Rightarrow\Delta ACI\) cân tại A

AM là đường phân giác của \(\Delta ACI\) cân tại A

`=> AM` cũng là đường cao

\(\Rightarrow AM\perp CI\)     (3)

Vì AH = AK nên \(\Delta AHK\) cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{AHK}=\dfrac{180^o-\widehat{CAI}}{2}\)  

\(\Delta ACI\) cân tại A \(\Rightarrow\widehat{AIC}=\dfrac{180^o-\widehat{CAI}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{AHK}=\widehat{AIC}\)

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

`=>` HK // CI  (4)

Từ (3), (4) ta có đpcm

Lời giải:Áp dụng định lý cos ta có:

\(\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}=\frac{-1}{2}\Rightarrow \widehat{A}=120^0\)

\(\cos B=\frac{BC^2+BA^2-AC^2}{2BC.BA}=\frac{-\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{B}=45^0\)

\(\widehat{C}=180^0-(\widehat{A}+\widehat{B})=180^0-(120^0+45^0)=15^0\)

\(\widehat{ADB}=180^0-(\frac{\widehat{A}}{2}+\widehat{B})=180^0-(\frac{120^0}{2}+45^0)=75^0\)