a) Ta có:

\(IN//AC\left(gt\right)\)

\(AC\perp AB\left(\widehat{A}=90^o\right)\)

\(\Rightarrow IN\perp AB\)\(hay\)\(\widehat{ANI}=90^o\)

\(Cmtt:IM//AB\left(gt\right)\)

\(AB\perp AC\left(\widehat{A}=90^o\right)\)

\(\Rightarrow IN\perp AC\)\(hay\)\(\widehat{AMI}=90^o\)

Xét tứ giác AMIN có:

\(\widehat{A}=\widehat{ANI}=\widehat{AMI}=90^o\)

Do đó tứ giác AMIN là hình chữ nhật

a) Co E la trung diem cua AC, FE//BC suy ra F la trung diem AB(duong trung binh )

Co E la trung diem AC, ED//AB suy ra D la trung diem BC(duong trung binh)

b) Co F la trung diem AB (cmt), D la trung diem BC (cmt) suy ra FD la duong trung binh cua tam giac ABC

suy ra FD//=1/2 AC (t/c duong trung binh)

a) Xét tứ giác ADME có:

∠(DAE) = ∠(ADM) = ∠(AEM) = 90o

⇒ Tứ giác ADME là hình chữ nhật (có ba góc vuông).

b) Ta có ME // AB ( cùng vuông góc AC)

M là trung điểm của BC (gt)

⇒ E là trung điểm của AC.

Ta có E là trung điểm của AC (cmt)

Chứng minh tương tự ta có D là trung điểm của AB

Do đó DE là đường trung bình của ΔABC

⇒ DE // BC và DE = BC/2 hay DE // MC và DE = MC

⇒ Tứ giác CMDE là hình bình hành.

c) Ta có DE // HM (cmt) ⇒ MHDE là hình thang (1)

Lại có HE = AC/2 (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông AHC)

DM = AC/2 (DM là đường trung bình của ΔABC) ⇒ HE = DM (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MHDE là hình thang cân.

d) Gọi I là giao điểm của AH và DE. Xét ΔAHB có D là trung điểm của AB, DI // BH (cmt) ⇒ I là trung điểm của AH

Xét ΔDIH và ΔKIA có

IH = IA

∠DIH = ∠AIK (đối đỉnh),

∠H1 = ∠A1(so le trong)

ΔDIH = ΔKIA (g.c.g)

⇒ ID = IK

Tứ giác ADHK có ID = IK, IA = IH (cmt) ⇒ DHK là hình bình hành

⇒ HK // DA mà DA ⊥ AC ⇒ HK ⊥ AC

a: Xét tứ giác AMBN có 

Q là trung điểm của AB

Q là trung điểm của MN

Do đó: AMBN là hình bình hành

mà MA=MB

nên AMBN là hình thoi

a) Xét tứ giác ADME có 

ME//AD(gt)

MD//AE(gt)

Do đó: ADME là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành ADME có \(\widehat{EAD}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0,E\in AC,D\in AB\))

nên ADME là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Ta có: ADME là hình chữ nhật(cmt)

nên ED=AM(Hai đường chéo trong hình chữ nhật ADME)

mà ED=5cm(gt)

nên AM=5cm

Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(M là trung điểm của BC)

nên \(AM=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

\(\Leftrightarrow BC=2\cdot AM=2\cdot5=10\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC(gt)

nên \(S_{ABC}=\dfrac{AH\cdot BC}{2}=\dfrac{4.8\cdot10}{2}=24\left(cm^2\right)\)

c) Xét ΔABC có 

M là trung điểm của BC(gt)

ME//AB(gt)

Do đó: E là trung điểm của AC(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

Xét ΔABC có 

M là trung điểm của BC(gt)

MD//AC(gt)

Do đó: D là trung điểm của AB(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: ΔAHB vuông tại H(AH⊥BC tại H)

mà HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB(D là trung điểm của AB)

nên \(HD=\dfrac{AB}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(AD=\dfrac{AB}{2}\)(D là trung điểm của AB)

nên HD=AD

Ta có: ΔAHC vuông tại H(AH⊥BC tại H)

mà HE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC(E là trung điểm của AC)

nên \(HE=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(AE=\dfrac{AC}{2}\)(E là trung điểm của AC)

nên HE=AE

Xét ΔEAD và ΔEHD có 

EA=EH(cmt)

ED chung

AD=HD(cmt)

Do đó: ΔEAD=ΔEHD(c-c-c)

⇒\(\widehat{EAD}=\widehat{EHD}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{EAD}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), D∈AB, E∈AC)

nên \(\widehat{EHD}=90^0\)

hay HD⊥HE(đpcm)

a: Xét tứ giác BFED có 

ED//BF

FE//BD

Do đó: BFED là hình bình hành

Xét ΔABC có

D là trung điểm của BC

DE//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

Xét ΔABC có 

E là trung điểm của AC

EF//CB

Do đó: F là trung điểm của AB

Xét ΔCDE và ΔEFA có 

CD=EF

DE=FA

CE=EA

Do đó: ΔCDE=ΔEFA

b: Gọi ΔABC có F là trung điểm của AB,E là trung điểm của AC

Trên tia FE lấy điểm E sao cho E là trung điểm của FK

Xét tứ giác AFCK có 

E là trung điểm của AC

E là trung điểm của FK

Do đó: AFCK là hình bình hành

Suy ra: AF//KC và KC=AF

hay KC//FB và KC=FB

Xét tứ giác BFKC có 

KC//FB

KC=FB

Do đó: BFKC là hình bình hành

Suy ra: FE//BC(ĐPCM)