1) Áp dụng BĐT bunhia, ta có 

\(P^2\le3\left(6a+6b+6c\right)=18\Rightarrow P\le3\sqrt{2}\)

Dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/3

điều kiện xác định : \(x\ge0;x\ne1\)

a) ta có : \(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right).\left(\dfrac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow P=-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\)

b) \(x>0\Rightarrow-\sqrt{x}< 0\) và \(x< 1\Rightarrow\sqrt{x}-1< 0\)

\(\Rightarrow-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)>0\) (đpcm)

c) ta có : \(P=-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)=-x+\sqrt{x}=-x+\sqrt{x}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\)

\(=-\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\le\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow P_{max}=\dfrac{1}{4}\) khi \(\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}\)

vậy GTLN của \(P\) là \(\dfrac{1}{4}\) khi \(x=\dfrac{1}{4}\)

Ta có: \(A^2=\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\right)^2=x-1+3-x+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\)

\(A^2=2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\le2+x-1+3-x=4\) (BĐT Cô - si)

Vì \(A^2\le4\) nên \(A\le\sqrt{4}=2\)

Max A = 2 <=> x-1=3-x <=> x=1

CTV kiểu gì đây ??? Nguyễn Hoàng Tiến ko xứng đáng chút nào!

Mình chả quan tâm có được làm CTV hay không, chỉ quan tâm là có học tốt được hay không

\(a.\) 

\(\text{*)}\) Áp dụng bđt  \(AM-GM\)  cho hai số thực dương  \(x,y,\)  ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\)  (do  \(xy=1\)  )

\(\Rightarrow\)  \(3\left(x+y\right)\ge6\)

nên  \(D=x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+3\left(x+y\right)\ge x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+6\)

\(\Rightarrow\)  \(D\ge\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]+5\)

\(\text{*)}\)  Tiếp tục áp dụng bđt  \(AM-GM\)  cho bộ số loại hai số không âm gồm \(\left(x^2+y^2+1;\frac{9}{x^2+y^2+1}\right),\)  ta có:

\(\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]\ge2\sqrt{\left(x^2+y^2+1\right).\frac{9}{\left(x^2+y^2+1\right)}}=6\)

Do đó,  \(D\ge6+5=11\)

Dấu  \("="\)  xảy ra khi  \(x=y=1\)

Vậy,  \(D_{min}=11\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=1\)

\(b.\) Bạn tìm điểm rơi rồi báo lại đây

b

\(8\sqrt{x-1}=4.2.\sqrt{x-1}.1\le4.\left(x-1+1\right)=4x\)

\(x.\sqrt{16-3x^2}\le\frac{x^2+16-3x^2}{2}=8-x^2\)

\(\Rightarrow y\le4x-x^2+8=-\left(x-2\right)^2+12\le12\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=2\)

+ ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-3\\y\ge-4\end{matrix}\right.\)

\(gt\Rightarrow x+y=6\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{4+y}\right)\le6\sqrt{2\left(x+y+7\right)}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\le72\left(x+y+7\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-72\left(x+y\right)-504\le0\)

\(\Rightarrow\left(x+y-36\right)^2\le1800\Rightarrow P\le36+30\sqrt{2}\)

max \(P=36+30\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3=y+4\\x+y=36+30\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{37}{2}+15\sqrt{2}\\y=\frac{35}{2}+15\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

+ \(x+y=6\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{y+4}\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=36\left(x+y+7+2\sqrt{\left(x+3\right)\left(y+4\right)}\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-36\left(x+y\right)-252=72\sqrt{\left(x+3\right)\left(y+4\right)}\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x+y-42\right)\left(x+y+6\right)\ge0\Rightarrow x+y\ge42\)

Min \(P=42\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\left(x+3\right)\left(y+4\right)}=0\\x+y=42\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=45\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=46\\y=-4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)