DC = DA

OA = OC

Do đó OD là trung trực của đoạn thẳng AC : suy ra OD vuông góc với AC

Tứ giác OECH có góc CEO + góc CHO = 180 độ 

Suy ra tứ giác OECH là tứ giác nội tiếp

1. MCOD nội tiếp đường tròn (+2 góc đối nhau =180o)

=> đpcm

2. OAI = OBI (c.g.c)

=> ^AOI = ^BOI

=> OI là phân giác cx là trung tuyến

=> OI là đường cao

=> ^OIA = 90o

=> ^OIM = 90o

OIDM nội tiếp (OIM =ODM = 90o)

=> KOD = KMI

.................=> tg KMI ~ tg KOD

=> đpcm....

Im mồm 🤬🤬🤬

1.Ta có: \(\widehat{MDO}+\widehat{MCO}=180^0\)

=> Tứ giác MDOC nội tiếp đường tròn đường kính MO 

=> 4 điểm M,D,O,C cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm)

2.Vì I là trung điểm của dây cung AB và OI đi qua AB => OI  \(\perp\)AB (đường kính đi qua trung điểm của 1 dây thì vuông góc với dây ấy)

Xét \(\Delta MIK\)và \(\Delta ODK\)có

\(\widehat{MIK}=\widehat{ODK}=90^0\)

\(\widehat{DOK}=\widehat{IMK}\)(Cùng phụ với \(\widehat{MKO}\))

=> \(\Delta MIK~\Delta ODK\left(g-g\right)\)

=> \(\frac{KI}{KD}=\frac{KM}{KO}\Rightarrow KI.KO=KM.KD\left(đpcm\right)\)

3. Gọi giao điểm của CD và OM là H

Ta có DM và MC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M => OH là tia phân giác của \(\widehat{DOC}\)và MO là tia phân giác của \(\widehat{FME}\)(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\(\Delta ODC\)cân tại O (OD=OC) có OH là tia phân giác => OH cũng là đường cao của \(\Delta ODC\)

=>OH   \(\perp\)DC hay OM   \(\perp\)DC

Ta có: EF//CD và OM    \(\perp\)CD => OM   \(\perp\)EF

Xét \(\Delta MOF\)và \(\Delta MOE\)có

\(\widehat{MOF}=\widehat{MOE}=90^0\)

MO là cạnh chung

\(\widehat{FMO}=\widehat{EMO}\)

=> \(\Delta MOF=\Delta MOE\left(cgv-gnk\right)\)

Mà \(S_{MOF}+S_{MOE}=S_{MEF}\)

\(\Rightarrow S_{MOE}=\frac{1}{2}S_{MEF}\)

\(S_{MEF}=2S_{MOE}=OC.ME=R.ME=R\left(MC+CE\right)\)

Ta có: \(ME=MC+CE\ge2\sqrt{MC.CE}=2\sqrt{OC^2}=2R\)(BĐT Cô-si)

\(\Rightarrow S_{MEF}=R.\left(MC+CE\right)\ge R.2R=2R^2\)

Dấu "=" xảy ra khi MC=CE=R => \(OM=R\sqrt{2}\)

Vậy M là giao điểm của \(\left(O,R\sqrt{2}\right)\)và đường thẳng d thì S_MEF  đạt giá trị nhỏ nhất

Theo giả thiết ta có M và N là hai điểm di động lần lượt trên hai tia Ax và By sao cho AM + BN = MN.

a) Kéo dài MA một đoạn AP = BN, ta có MP = MN và OP = ON.

Do đó ΔOMP = ΔOMN (c.c.c)

⇒ OA = OH nên OH = a.

Ta suy ra HM = AM và HN = BN.

b) Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (Bx’, By) ta có:

HK // MM’ với K ∈ NM’.

Do đó đối với tam giác BNM’ đường thẳng BK là phân giác của góc (x'By) .

c) Gọi (β) là mặt phẳng (AB, BK). Vì HK // AB nên HK nằm trong mặt phẳng (β) và do đó H thuộc mặt phẳng (β). Trong mặt phẳng (β) ta có OH = a. Vậy điểm H luôn luôn nằm trên đường tròn cố định, đường kính AB và nằm trong mặt phẳng cố định (β) = (AB, BK)

mk chỉ bt vẽ hình thôi bạn

a. Dễ thấy AMON nội tiếp vì \(\widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^o\)

b. Do H là trung điểm BC nên \(OH⊥HA\), vậy H, M, A, N, O cùng thuộc đường tròn đường kính AO.

Ta có \(\widehat{NHA}=\widehat{NMA}=\widehat{MNA}=\widehat{MHA}\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung và AM = AN)

Vậy HA là phân giác góc MHN.

c. Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác HMAN có: \(\widehat{HNM}=\widehat{HAM}\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung HM)

Mà \(\widehat{HAM}=\widehat{HBE}\)(Đồng vị)

Vậy nên \(\widehat{HNE}=\widehat{HBE}\) hay HNBE nội tiếp.

Suy ra \(\widehat{ENB}=\widehat{EHB}\) (Cùng chắn cung EB)

Mà \(\widehat{ENB}=\widehat{MCB}\) (Cùng chắn  cung MB) nên  \(\widehat{EHB}=\widehat{MCB}\)

Chúng lại ở vị trí đồng vị nên HE // CM.

a) x⁴+x³+2x²+x+1=(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=(x²+x+1)(x²+1)

b)a³+b³+c³-3abc=a³+3ab(a+b)+b³+c³ -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)²-(a+b)c+c²)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-ab+c²-3ab)=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)=x²(y-z)-y²((y-z)+(x-y))+z²(x-y)

=x²(y-z)-y²(y-z)-y²(x-y)+z²(x-y)=(y-z)(x²-y²)-(x-y)(y²-z²)=(y-z)(x²-2y²+xy+xz+yz)

a) Xét đường tròn (O): 2 tiếp tuyến AB, AC => AB=AC (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) => OA là trung trực của BC (Vì OB=OC)

=> OA vuông góc BC. Mà BD//AO nên BC vuông góc BD (Qh song song vuông góc) => CD là đường kính của (O)

Do đó: ^CED=90⁰ (Góc nt chắn nửa đường tròn) hoặc ^CEA=90⁰ => \(\Delta\)ACE vuông tại E

Xét \(\Delta\)ACE: Vuông đỉnh E, trung tuyến EM => ME = MC. Từ đó có: \(\Delta\)MEO = \(\Delta\)MCO (c.c.c)

=> ^MEO = ^MCO (Cặp góc tương ứng). Mà ^MCO=90⁰ nên ^MEO=90⁰ => ME là tiếp tuyến của (O) (đpcm).

b) Gọi K là giao điểm của OE với đoạn BC, H là giao điểm của OA và BC, J là giao điểm của EM với OA.

Xét \(\Delta\)OTJ có: TH vuông góc OJ (Do BC vuông góc OA); OE vuông góc TJ (Do EM là tiếp tuyến (O))

TH cắt OE tại K nên K là trực tâm \(\Delta\)OTJ => JK vuông góc OT   (*)

Qua hệ thức lượng trong tam giác vuông, dễ có: R² = OE² = OB² = OH.OA => \(\Delta\)OHE ~ \(\Delta\)OEA (c.g.c)

=> ^OEH = ^OAE hay ^KEH = ^OAI             (1)

Dễ thấy tứ giác HKEJ nội tiếp đường tròn đường kính KJ => ^KEH = ^HJK (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ^OAI = ^HJK => JK // AI (2 góc đồng vị bằng nhau) (**)

Từ (*) và (**) suy ra: AI vuông góc OT (Qh song song vuông góc)

Xét trong \(\Delta\)OAT: TH vuông góc OA; AI vuông góc OT, I thuộc TH

=> I là trực tâm \(\Delta\)OAT => OI vuông góc AT (đpcm).

c) (Hình 2) Gọi N là trung điểm của DE, có ngay ON vuông góc DE (Do DE là dây của (O))

Dễ thấy 5 điểm A,B,N,O,C cùng thuộc đường tròn đường kính OA => Tứ giác ABNC nội tiếp

=> ^BAN = ^BCN. Mà ^PEN = ^BAN (Vì PE // AB) nên ^BCN = ^PEN hay ^PCN = ^PEN 

=> Tứ giác CNPE nội tiếp => ^ENP = ^ECP = ^ECB = ^EDB => NP // BD (2 góc đồng vị bằng nhau)

Xét \(\Delta\)DQE có: N là trung điểm DE, NP // BD, P thuộc QE => P là trung điểm của QE hay PQ = PE (đpcm).

bạn ơi trả lời gìmà ko liên quan đến bài vậy đây là hình mà

a) + Trong mp(ABCD), AB cắt CD tại E.

E ∈ AB ⊂ (MAB) ⇒ E ∈ (MAB) ⇒ ME ⊂ (MAB)

E ∈ CD ⊂ (SCD) ⇒ E ∈ (SCD)

Mà M ∈ SC ⊂ (SCD)

⇒ ME ⊂ (SCD).

+ Trong mp(SCD), EM cắt SD tại N.

Ta có:

N ∈ SD

N ∈ EM ⊂ mp(MAB)

Vậy N = SD ∩ mp(MAB)

b) Chứng minh SO, MA, BN đồng quy:

+ Trong mặt phẳng (SAC) : SO và AM cắt nhau.

+ trong mp(MAB) : MA và BN cắt nhau

+ trong mp(SBD) : SO và BN cắt nhau.

+ Qua AM và BN xác định được duy nhất (MAB), mà SO không nằm trong mặt phẳng (MAB) nên AM; BN; SO không đồng phẳng.

Vậy SO, MA, BN đồng quy.