Lời giải:
 Vì $HB:HC=1:4$ nên đặt $HB=a; HC=4a$ với $a>0$

Áp dụng HTL trong tam giác vuông:
$AH^2=BH.CH$

$14^2=a.4a$

$4a^2=196$

$a^2=49\Rightarrow a=7$ (do $a>0$)

Khi đó:

$BH=a=7$ (cm); $CH=4a=28$ (cm)

$BC=BH+CH=7+28=35$ (cm)

$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{14^2+7^2}=7\sqrt{5}$ (cm)

$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{14^2+28^2}=14\sqrt{5}$ (cm)

Chu vi tam giác $ABC$:

$P=AB+BC+AC=7\sqrt{5}+14\sqrt{5}+35=21\sqrt{5}+35$ (cm)

Hình vẽ:

3: 

\(BC=\sqrt{12^2+16^2}=20\left(cm\right)\)

HB=12^2/20=7,2cm

=>HC=20-7,2=12,8cm

\(AD=\dfrac{2\cdot12\cdot16}{12+16}\cdot cos45=\dfrac{48\sqrt{2}}{7}\)

\(HD=\sqrt{AD^2-AH^2}=\dfrac{48}{35}\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

\(AH^2=BH.BC\Leftrightarrow BH.BC=196\)

\(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow HB=\dfrac{HC}{4}\)

\(\Rightarrow HB.HC=\dfrac{HC^2}{4}=196\Leftrightarrow HC=28\)\(\Rightarrow HB=7\)

\(\Rightarrow BC=HB+HC=28+7=35\) (cm)

Vậy BC=35cm.

tham khảo của đỗ chí dũng câu hỏi của chi khánh

Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{7}\)

nên \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{25}{49}\)

hay \(HB=\dfrac{25}{49}HC\)

Ta có: \(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow HC^2=15^2:\dfrac{25}{49}=441\)

\(\Leftrightarrow HC=21\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow HB=\dfrac{75}{7}\left(cm\right)\)

Xét tam giác AHB đồng dạng với tam giác CHA góc-góc ( góc AHB=góc CHA; góc BAH = góc C do cùng phụ với góc B)
=> k= AH/HC=AB/AC=HB/AH
AB/AC=5/7
=>AB/AC=HB/AH hay 5/7=HB/15 -> HB = 75/7
AH/HC=AB/AC hay 15/HC=5/7 -> HC =21

Ta có : \(\frac{AB}{AC}=\frac{5}{7}\Rightarrow AB=\frac{5}{7}AC\)

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

 * Áp dụng hệ thức : \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow\frac{1}{225}=\frac{1}{\left(\frac{5}{7}AC\right)^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow AC=3\sqrt{74}\)cm 

\(\Rightarrow AB=\frac{5}{7}.3\sqrt{74}=\frac{15\sqrt{74}}{7}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AH.BC=AB.AC\)

\(\Rightarrow BC=\frac{AB.AC}{AH}=\frac{3\sqrt{74}.\frac{15\sqrt{74}}{7}}{15}=\frac{222}{7}\)cm 

Áp dụng định lí Pytago tam giác ABH vuông tại H 

\(AB^2=BH^2+AH^2\Rightarrow BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\frac{75}{7}\)cm 

\(\Rightarrow HC=BC-BH=\frac{222}{7}-\frac{75}{7}=\frac{147}{7}=21\)cm 

\(1,HC=\dfrac{AH^2}{BH}=\dfrac{256}{9}\\ \Rightarrow AB=\sqrt{BH\cdot BC}=\sqrt{\left(\dfrac{256}{9}+9\right)9}=\sqrt{337}\\ 2,BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10\left(cm\right)\\ \Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=6,4\left(cm\right)\\ 3,AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=9\\ \Rightarrow CH=\dfrac{AC^2}{BC}=5,4\\ 4,AC=\sqrt{BC\cdot CH}=\sqrt{9\left(6+9\right)}=3\sqrt{15}\\ 5,AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=4\sqrt{7}\left(cm\right)\\ \Rightarrow AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=3\sqrt{7}\left(cm\right)\\ 6,AC=\sqrt{BC\cdot CH}=\sqrt{12\left(12+8\right)}=4\sqrt{15}\left(cm\right)\)