Ta có:\(2^5\left(\frac{1}{2}\right)^{2a}< \left(\frac{1}{32}\right)^{12}\)

\(\Leftrightarrow2^5\left(\frac{1}{4}\right)^a< 2^5\cdot\left(\frac{1}{2^{10}}\right)^{12}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{4}\right)^a< \left(\frac{1}{2^{10}}\right)^{12}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2^{2a}}\right)< \left(\frac{1}{2^{10\cdot12}}\right)\)

\(\Leftrightarrow2a>120\)

\(\Leftrightarrow a>60\)

Mà a là số nguyên nhỏ nhất nên a=61

\(2^5\left(\frac{1}{2}\right)^{2a}< \left(\frac{1}{32}\right)^{12}\Leftrightarrow2^5.2^{-2a}< \left(2^5\right)^{-12}\)

\(\Leftrightarrow2^{5-2a}< 2^{-60}\Rightarrow5-2a< -60\Leftrightarrow a>32,5\)

Số nguyên a nhỏ nhất thoả mãn đề bài là a=33

33 nha bạn

Chúc các bạn học giỏi

n hba

a=33 nhé

Đặt \(\frac{1}{a}=x>0;\frac{1}{b}=y>0;\frac{1}{c}=z>0\)

Từ giả thiết ta có: \(7\left(x^2+y^2+z^2\right)=6\left(xy+yz+zx\right)+2015\le6\left(x^2+y^2+z^2\right)+2015\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le2015\)

Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}=\frac{1}{\sqrt{\left(4a^2+b^2\right)+\left(2a^2+2b^2\right)}}\le\frac{1}{\sqrt{4a^2+b^2+4ab}}=\frac{1}{2a+b}=\frac{1}{a+a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{9}\left(2x+y\right)\)

Tương tự thì: \(\frac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}\le\frac{1}{9}\left(2y+z\right)\)  và \(\frac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\le\frac{1}{9}\left(2z+x\right)\)

Cộng từng vế 3 BĐT trên ta có: \(\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\le\frac{x+y+z}{3}\le\frac{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}}{3}\le\sqrt{\frac{2015}{3}}\)

Vậy max \(P=\sqrt{\frac{2015}{3}}\)  , đạt được khi \(a=b=c=\sqrt{\frac{3}{2015}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(6=2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+c\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)\)

\(\ge4+\frac{c\left(a^3+b^3\right)}{a^2b^2}\ge4+\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\)\(\Rightarrow\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\in\text{(}0;2\text{]}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz lại có:

\(P\ge\frac{\left(bc+ca\right)^2}{2abc\left(a+b+c\right)}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)\(\ge\frac{3c^2\left(a+b\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)

\(=\frac{\frac{3c^2\left(a+b\right)^2}{a^2b^2}}{2\left(1+\frac{ca}{ab}+\frac{bc}{ab}\right)^2}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)

\(=\frac{\frac{3c^2\left(a+b\right)^2}{a^2b^2}}{2\left[1+\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\right]^2}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)

Đặt \(x=\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\left(x\in\text{(}0;2\text{]}\right)\) khi đó ta có:

\(P\ge\frac{3x^2}{2\left(1+x\right)^2}+\frac{4}{x}\) cần chứng minh \(P\ge\frac{8}{3}\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(7x^2+22x+12\right)\le0\forall x\in\text{(0;2]}\)

Vậy \(Min_P=\frac{8}{3}\) khi a=b=c=2

Chỗ dùng cauchy- schwarz mình không hiểu lắm

a=12 bạn ạ

đúng đó

Trả lời rõ ràng ra đc ko ?