Dễ thấy DE là đường trung bình của tam giác AHC

=> DE // AC mà BA vuông góc với AC 

=> DE vuông góc với AB

mặt khác ta có AH vuông góc với BE

và DE giao AH tại D => D là trực tâm của tam giác ABE

=> BD vuông góc với AE ( đpcm )

Viết thiếu đề: ... các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC.

a) Cm. AH = DE 

Ta có: HD vuông góc với BA (gt)
          ED vuông góc với BA ( BA vuông góc với AC; E thuộc AC)
=> HD // EA

Ta lại có: DA vuông góc với AC ( BA vuông góc với AC; D thuộc AB)
              HE vuông góc với AC (gt)
=> DA // HE

Xét tứ giác DHEA, có;
* HD // EA (cmt)
* DA // HE (cmt)
=> DHEA là hình bình hành (định nghĩa)
=> DE = AH (tính chất của đường chéo) (đpcm)

b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo DE, AH của hình bình hành DHEA.

Xét tam giác HEC vuông tại E, có:
* K là trung điểm của HC (gt)
=> EK = KH = KC (trung tuyến của tam giác vuông bằng 1/2 cạnh huyền)
=> DI = IH = IB ( chứng minh tương tự)

Xét tam giác DIO và tam giác HIO, có:
* DI = IH (cmt)
* IO là cạnh chung
* OD = OH (DHEA là hình bình hành)
=> tam giác DIO = tam giác HIO (c.c.c)
=> góc IHO = góc IDO ( yếu tố tương ứng)
Mà góc IHO = 90 độ (AH là đường cao)
=> góc IDO = 90 độ 
=> ID vuông góc với DE (1)

Xét tam giác HOK và tam giác EOK, có:
* HO = EO (DHEA là hình bình hành)
* OK là cạnh chung
* KH = KE (cmt)
=> tam giác HOK = tam giác EOK (c.c.c)
=> góc OHK = góc OEK ( yếu tố tương ứng)
Mà góc OHK = 90 độ (AH là đường cao)
=> góc OEK = 90 độ 
=> KE vuông góc với DE (2)

Từ (1), (2) => ID // KE (từ vuông góc đến song song) (đpcm).

`a)` Xét `\triangle ABC` vuông tại `A` có: `\hat{B}+\hat{C}=90^o`

      Xét `\triangle ABH` vuông tại `H` có: `\hat{B}+\hat{A_1}=90^o`

    `=>\hat{C}=\hat{A_1}`

Xét `\triangle ABC` và `\triangle HBA` có:

    `{:(\hat{C}=\hat{A_1}),(\hat{B}\text{ là góc chung}):}}=>\triangle ABC` $\backsim$ `\triangle HBA` (g-g)

`b)` Ta có: `BC=HB+HC=4+9=13(cm)`

Xét `\triangle ABC` vuông tại `A` có: `AH` là đường cao

    `@AH=\sqrt{BH.HC}=6 (cm)`

    `@AB=\sqrt{BH.BC}=2\sqrt{13}(cm)`

Ta có: `\hat{DEA}=\hat{ADH}=\hat{AEH}=90^o`

   `=>` Tứ giác `AEHD` là hcn `=>DE=AH=6(cm)`

`c)` Xét `\triangle AHB` vuông tại `H` có: `HD \bot AB=>AH^2=AD.AB`

      Xét `\triangle AHC` vuông tại `H` có: `HE \bot AC=>AH^2=AE.AC`

   `=>AD.AB=AE.AC`