b, Vì K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF nên tứ giác DKEF nội tiếp

→PKE = PFD (góc ngoài tứ giác)

mà DPF chung

→ΔPKE đồng dạng ΔPFD (góc-góc)

→\(\dfrac{PK}{PE}=\dfrac{PF}{PD}\) 

→PK.PD=PF.PE (1)

Vì tứ giác NMFE là tứ giác nội tiếp

→PNE =PFD

mà MPF chung

→ΔPNE đồng dạng ΔPFM (góc-góc)

→\(\dfrac{PN}{PE}=\dfrac{PF}{PM}\) (2 góc tương ứng)

→PN.PM=PE.PF (2)

Từ (1) và (2) suy ra:PN.PM=PK.PD(đpcm)

c) Mình ghi có hơi gọn tí ở một số bước (do đây là những bài toán cơ bản, có thể tự chứng minh được), bạn thông cảm nha!

ENMF nội tiếp và DNHM nội tiếp

\(\Rightarrow PE.PF=PN.PM=PK.PD\)  hay \(PN.PM=PK.PD \Rightarrow \) DKNM nội tiếp

\(\Rightarrow\) DKNHM nội tiếp hay DKHM nội tiếp

\(\Rightarrow \widehat{DKH}=180^{\circ}-\widehat{DMH}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}\) hay \(HK \perp PD\) 

Kẻ đường kính DA của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta DEF\)

\(\Rightarrow\) EHFA là hình bình hành (bài toán quen thuộc)

     Hay H, Q, A thẳng hàng

\(\Delta AKD\) nội tiếp đường tròn đường kính AD nên tam giác này vuông tại K

\(\Rightarrow AK\perp PD\) mà \(HK \perp PD\)

\(\Rightarrow \) A, H, K thẳng hàng mà H, Q, A thẳng hàng

\(\Rightarrow\) Q, H, K thẳng hàng

\(\Rightarrow QK \perp PD\) mà \(DH \perp PQ\)

\(\Rightarrow PH \perp DQ (đpcm)\)

a) Xét tứ giác ENMF có

\(\widehat{ENF}=\widehat{EMF}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{ENF}\) và \(\widehat{EMF}\) là hai góc cùng nhìn cạnh EF

Do đó: ENMF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

a: ΔABC đồng dạng vơi ΔDEF

=>\(\dfrac{C_{ABC}}{C_{DEF}}=k=\dfrac{2}{3}\)

b:AH/DI=k=2/3

Chứng minh được AI là đường trung tuyến của tam giác ABC, từ đó IE = IF.

a: Xét ΔDKF vuông tại K và ΔEDF vuông tại D có

góc F chung

=>ΔDKF đồng dạng với ΔEDF

b: \(DF=\sqrt{20^2-16^2}=12\left(cm\right)\)

DK=12*16/20=9,6cm

c: MK/MD=FK/FD

DI/EI=FD/FE

mà FK/FD=FD/FE

nên MK/MD=DI/EI

Xét tứ giác DMIN có 

\(\widehat{DNI}+\widehat{DMI}=180^0\)

Do đó: DMIN là tứ giác nội tiếp

hay D,M,I,N cùng thuộc một đường tròn