CMR: \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)và 2n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau.
CMR\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\) và 2n+1 nguyên tố cùng nhau với mọi n thuộc N
CMR: Các phân số sau nguyên tố cùng nhau:
\(\frac{2n+1}{2n^2-1}\); \(\frac{2n+1}{2n\cdot\left(n+1\right)}\)
gọi d thuộc ưc nguyên tố của ( 2n+!; 2n^2 -1); ta có
a; \(\frac{2n+1}{2n^2-1}=\frac{2\left(n^2+1\right)}{2n-1}=\frac{2n^2+2}{2n-1}\)cchia hết cho d
=> 2n^2+2-2n^2-chia hết choi d
=> 1 chia hết cho d=> d=1
vậy 2n+1/2n^2-1 nguyên tố cùng nhau
\(\text{CMR: Hai số n(n+1) và 2n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau}\)
Bài 2: CMR
a,7n+10 và 5n+7 là 2 số nguyên tố cùng nhau (n thuộc N)
b,2n+1 và 6n+5 là 2 số nguyên tố cùng nhau ( n thuộc N )
c,n+1 và 3n+4 là 2 số nguyên tố cùng nhau ( n thuộc N )
Ta có : k là ƯCLN của 7n + 10 và 5n + 7
Vậy : 7n + 10 chia hết cho k ; 5n + 7 chia hết cho k
Hay 5(7n + 10 ) và 7(5n + 7 )
35n + 50 và 35n + 49 chia hết cho k
=> ĐPCM
Hai bài kia bạn làm tương tư nhé , chúc may mắn
Cmr hai số 2n+1 và 6n+5 là nguyên tố cùng nhau ( n thuộ N)
1. CMR: hai số n(n+1)/2 và 2n+1 nguyên tố cùng nhau cới mọi số tự nhiên n
1.Chứng tỏ rằng hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau
2.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , các số sau là các số nguyên tố cùng nhau.
a) n+1 và n+2 b)2n+2 và 2n+3
c)2n+1 và n+1 d)n+1 và 3n+4
Bài 1: Gọi hai số lẻ liên tiếp là $2k+1$ và $2k+3$ với $k$ tự nhiên.
Gọi $d=ƯCLN(2k+1, 2k+3)$
$\Rightarrow 2k+1\vdots d; 2k+3\vdots d$
$\Rightarrow (2k+3)-(2k+1)\vdots d$
$\Rightarrow 2\vdots d\Rightarrow d=1$ hoặc $d=2$
Nếu $d=2$ thì $2k+1\vdots 2$ (vô lý vì $2k+1$ là số lẻ)
$\Rightarrow d=1$
Vậy $2k+1,2k+3$ nguyên tố cùng nhau.
Ta có đpcm.
Bài 2:
a. Gọi $d=ƯCLN(n+1, n+2)$
$\Rightarrow n+1\vdots d; n+2\vdots d$
$\Rightarrow (n+2)-(n+1)\vdots d$
$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $(n+1, n+2)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.
b.
Gọi $d=ƯCLN(2n+2, 2n+3)$
$\Rightarrow 2n+2\vdots d; 2n+3\vdots d$
$\Rightarrow (2n+3)-(2n+2)\vdots d$ hay $1\vdots d$
$\Rightarrow d=1$.
Vậy $(2n+2, 2n+3)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.
Bài 2:
c.
Gọi $d=ƯCLN(2n+1, n+1)$
$\Rightarrow 2n+1\vdots d; n+1\vdots d$
$\Rightarrow 2(n+1)-(2n+1)\vdots d$
$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $ƯCLN(2n+1, n+1)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.
d.
Gọi $d=ƯCLN(n+1, 3n+4)$
$\Rightarrow n+1\vdots d; 3n+4\vdots d$
$\Rightarrow 3n+4-3(n+1)\vdots d$
$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $ƯCLN(n+1, 3n+4)=1$
$\Rightarrow$ 2 số này nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh:\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\) và \(2n+1\) là số nguyên tố cùng nhau
chứng minh \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\) và 2n+1 nguyên tố cùng nhau
Gọi d thuộc ƯC(\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\),2n+1) thì n(n+1) chia hết cho d và 2n+1 chia hết cho d.
=>n(2n+1) - n(n+1)chia hết cho d
<=>2\(n^2\)+n - \(n^2\)-n chia hết cho d
<=> \(n^2\)chia hết cho d
Từ n(n+1) chia hết cho d và \(n^2\) chia hết cho d => n chia hết cho d
Ta lại có 2n+1 chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d => d=1
Vậy 2 số đó là 2 số nguyen tố