Hình tự vẽ :(
Gọi \(Q\) là giao điểm của \(HK\) và \(MN\)
\(\Rightarrow KQ\) là đường trung tuyến của \(\Delta MNK\Rightarrow QM=QN\)
Xét \(\Delta MNI\) và \(\Delta KNM\) \(\left(\widehat{M}=\widehat{K}=90^o\right)\)
ta có: \(\widehat{N}\) là góc chung
\(\Rightarrow\Delta MNI\sim\Delta KNM\) \(\left(g-g\right)\)
mà \(\Delta KNM\) là tam giác vuông cân tại \(\widehat{K}\) \(\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta MNI\) là tam giác vuông cân tại \(\widehat{M}\)
\(\Rightarrow MN=MI\) \(\Rightarrow MI=5\)
mà \(MK\) là đường cao của \(\Delta MNI\) 
\(\Rightarrow MK\) cũng là trung tuyến của \(\Delta MNI\)
\(\Rightarrow KN=KI\)
Xét \(\Delta MNI\) ta có:
\(QN=QM\) \(\left(cmt\right)\)
\(KN=KI\) \(\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow QK\) là đường trung bình của \(\Delta MNI\)
\(\Rightarrow QK=\dfrac{MI}{2}=\dfrac{5}{2}\)
Xét \(\Delta MNP\) ta có:
\(QN=QM\) \(\left(cmt\right)\)
\(HN=HP\) (\(H\) là trung điểm của \(NP\))
\(\Rightarrow QH\) là đường trung bình của \(\Delta MNP\)
\(\Rightarrow QH=\dfrac{MP}{2}=\dfrac{13}{2}\)
Ta có \(QH=QK+HK\)
\(\Rightarrow HK=QH-QK=\dfrac{13}{2}-\dfrac{5}{2}=4\)
Vậy \(HK=4\)

a: Xét ΔMDN vuông tại D và ΔMEP vuông tại E có

MN=MP

góc M chung

Do đó: ΔMDN=ΔMEP

=>DN=EP

b: Xét ΔENP vuông tại E và ΔDPN vuông tại D có

PN chung

PE=ND

Do đó: ΔENP=ΔDPN

=>góc ANP=góc APN

=>AP=AN

=>A nằm trên đường trung trực của NP

mà MK là đường trung trực của NP

nên M,A,K thẳng hàng

a) Xét ΔMNH vuông tại M và ΔKNH vuông tại K có

NH chung

\(\widehat{MNH}=\widehat{KNH}\)(NH là tia phân giác của \(\widehat{MNK}\))

Do đó: ΔMNH=ΔKNH(cạnh huyền-góc nhọn)

b) Ta có: ΔMNH=ΔKNH(cmt)

nên MH=KH(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔMHE vuông tại M và ΔKHP vuông tại K có 

HM=HK(cmt)

\(\widehat{MHE}=\widehat{KHP}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMHE=ΔKHP(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

Suy ra: HE=HP(Hai cạnh tương ứng)

a: Xét ΔMAH và ΔBAN có

AM=AB

góc MAH=góc BAN

AH=AN

=>ΔMAH=ΔBAN

=>góc MHA=góc BNA=90 độ

=>NB vuông góc NP

b: BN=MH

MH<MN

=>BN<NM

góc NMA=góc NBH

góc NBH>góc AMH

=>góc NMA>góc AMH

c: ΔNBP vuông tại N có NI là trung tuyến

nên NI=1/2BP

a: Xét ΔMHL vuông tại L và ΔMKL vuông tại L có 

ML chung

HL=KL

Do đó: ΔMHL=ΔMKL

b: Xét ΔMHN và ΔMKN có 

MH=MK

\(\widehat{HMN}=\widehat{KMN}\)

MN chung

Do đó; ΔMHN=ΔMKN

Suy ra: \(\widehat{MHN}=\widehat{MKN}=90^0\)

hay ΔMKN vuông tại K

a: Xét ΔMHL vuông tại L và ΔMKL vuông tại L có 

ML chung

HL=KL

Do đó: ΔMHL=ΔMKL

b: Xét ΔMHN và ΔMKN có 

MH=MK

\(\widehat{HMN}=\widehat{KMN}\)

MN chung

Do đó: ΔMHN=ΔMKN

Suy ra: \(\widehat{MHN}=\widehat{MKN}=90^0\)