a: Xét tứ giác AMCP có

N là trung điểm của AC

N là trung điểm của MP

Do đó: AMCP là hình bình hành

Suy ra: AM=PC

1.

Xét tam giác BAC và tam giác FAE có:

BA = FA (gt)

BAC = FAE (2 góc đối đỉnh)

AC = AE (gt)

=> Tam giác BAC = Tam giác FAE (c.g.c)

=> BC = FE (2 cạnh tương ứng)

2.

Xét tam giác AMB và tam giác DMC có:

AM = DM (gt)

AMB = DMC (2 góc đối đỉnh)

MB = MC (M là trung điểm của BC)

=> Tam giác AMB = Tam giác DMC (c.g.c)

=> ABM = DCM (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> AB // DC

Xét tam giác AMC và tam giác DMB có:

AM = DM (gt)

AMC = DMB (2 góc đối đỉnh)

MC = MB (M là trung điểm của CB)

=> Tam giác AMC = Tam giác DMB (c.g.c)

=> AC = DB (2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác ABC và tam giác DCB có:

AB = DC (tam giác AMB = tam giác DMC)

BC chung

AC = DB (chứng minh trên)

=> Tam giác ABC = Tam giác DCB (c.c.c)

a) Vì AM là phân giác của góc BAC

nên góc BAM = CAM

Xét ΔBAM và ΔCAM có:

AB = AC ( giả thiết )

Góc BAM = CAM ( chứng minh trên )

AM cạnh chung.

=> Δ BAM = ΔCAM ( c.g.c )

=> BM = CM ( 2 cạnh tương ứng )

mà M nằm giữa B và C

Do đó M là trung điểm của BC → ĐPCM.

b) Ta có: AB + BE = AE

AC + CF = AF

mà AB = AC ( đề bài ); AE = AF (đề bài)

=> BE = CF.

Do ΔBAM = ΔCAM nên góc ABC = ACB ( 2 góc tương ứng )

Lại có: Góc ABC + CBE = 180 độ (kề bù)

Góc ACB + BCF = 180 độ (kề bù)

=> ABC + CBE = ACB + BCF

=> Góc CBE = BCF.

Xét ΔBCE và ΔCBF có:

BE = CF ( chứng minh trên)

Góc CBE = BCF ( chứng minh trên)

BC cạnh chung ( theo hình vẽ)

=> ΔBCE = ΔCBF ( c.g.c ) → ĐPCM.

c) Lại do ΔBCE = ΔCBF nên góc EBC = FCB ( 2 góc tương ứng ) hay góc EBM = FCM

Xét ΔMBE và ΔMCF có:

MB = MC ( chứng minh ở câu a )

Góc EBM = FCM ( chứng minh trên)

BE = FC ( chứng minh ở câu b)

=> ΔMBE = ΔMCF ( c.g.c )

=> ME = MF ( 2 cạnh tương ứng ) → ĐPCM.

d) Xét ΔEMN và ΔFMN có:

EM = FM ( chứng minh ở câu c )

EN = FN ( N là trung điểm EF )

MN chung.

=> ΔEMN = ΔFMN.

=> Góc ENM = FNM (2 góc tương ứng)

Suy ra MN là tia phân giác của góc ENF (1)

Có: góc BAM = CAM

Suy ra AM là tia phân giác của góc BAC (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, M, N nằm trên cùng 1 đường thẳng.

Do đó A, M, N thẳng hàng → ĐPCM.

CM:a) Xét t/giác ABM và ACM

có: AB = AC (gt)

  \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (gt) 

   AM : chung

=> t/giác ABM = t/giác ACM (c.g.c)

=> BM = CM (2 cạnh t/ứng)

=> M là trung điểm của BC

b) Ta có: AE + AC = EC 

         AF + AB = FB

mà AE = AF (gt); AB = AC (gt)

=> EC = FB

Xét t/giác BCE và t/giác CBF

có: BC : chung

  \(\widehat{BCE}=\widehat{FBC}\) (vì t/giác ABC cân)

 EC = FB (cmt)

=> t/giác BCE = t/giác CBF (c.g.c)

c) Xét t/giác BEM và t/giác CFM

có: EB = FC (vì t/giác BCE = t/giác CBF)

 \(\widehat{EBM}=\widehat{FCM}\) (vì t/giác BCE = t/giác CBF)

 BM = CM (cm câu a)

=> t/giác BEM = t/giác CFM (c.g.c)

=> ME = MF (2 cạnh t/ứng)

d) Xét t/giác AEN và t/giác AFN

có: AE = AF (gt)

  EN = FN (gt)

  AN : chung

=> t/giác AEN = t/giác AFN (c.c.c)

=> \(\widehat{EAN}=\widehat{MAF}\) (2 góc t/ứng)

=> AN là tia p/giác của góc EAF => \(\widehat{EAN}=\widehat{MAF}=\frac{\widehat{EAF}}{2}\)

AM là tia p/giác của góc BAC => \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}=\frac{\widehat{BAC}}{2}\)

Mà \(\widehat{EAF}=\widehat{BAC}\) (đối đỉnh)

=> \(\widehat{EAN}=\widehat{NAF}=\widehat{BAM}=\widehat{MAC}\)

Ta có: \(\widehat{FAN}+\widehat{NAE}+\widehat{EAB}=180^0\) 

hay \(\widehat{BAM}+\widehat{EAB}+\widehat{EAN}=180^0\)

=> A, M, N thẳng hàng

a) Xét ∆ANP và ∆CMN ta có :

AN = NC 

MN = NP 

ANP = MNC ( đối đỉnh) 

=> ∆ANP = ∆CMB (c.g.c)

=> AP = MC ( dpcm)

=> APN = NMC ( góc tg ứng) 

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong 

=> AP//MC (dpcm)

b) Xét ∆AMN và ∆CPN ta có :

AN = NC

MN = NP

ANM = PNC ( đối đỉnh) 

=> ∆AMN = ∆CPN (c.g.c)

=> AM = PC 

=> NAM = NCP (  tg ứng) 

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong 

=> AM //PC

a: Xét ΔMAB và ΔMEC có

MA=ME

\(\widehat{AMB}=\widehat{EMC}\)(hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMEC

=>AB=EC

Ta có: ΔMAB=ΔMEC

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MEC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//CE

b: Ta có: AB//CE

AB\(\perp\)AC

Do đó: CE\(\perp\)CA

=>ΔCAE vuông tại C

c: Xét ΔABC vuông tại A và ΔCEA vuông tại C có

CA chung

AB=CE

Do đó: ΔABC=ΔCEA

d: ta có: ΔABC=ΔCEA

=>BC=EA

mà \(AM=\dfrac{1}{2}EA\)

nên \(AM=\dfrac{1}{2}BC\)

e: Xét ΔMAC và ΔMEB có

MA=ME

\(\widehat{AMC}=\widehat{EMB}\)(hai góc đối đỉnh)

MC=MB

Do đó: ΔMAC=ΔMEB

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MEB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AC//BE

f: Xét ΔMHC và ΔMKB có

MB=MC

\(\widehat{MBK}=\widehat{MCH}\)

BK=CH

Do đó: ΔMHC=ΔMKB

=>\(\widehat{HMC}=\widehat{KMB}\)

mà \(\widehat{KMB}+\widehat{KMC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{HMC}+\widehat{KMC}=180^0\)

=>K,M,H thẳng hàng

a) Ta có M là trung điểm của BC, vậy BM = MC. Vì MA = ME, nên ta có MA = ME = MC. Do đó, tam giác MEC là tam giác đều. 

Vì BM = MC và tam giác MEC là tam giác đều, nên ta có AB = EC và AB // EC.

b) Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. 

Vì AB // EC, nên góc BAC = góc ECA. 

Vậy tam giác ACE cũng là tam giác vuông tại C.

c) Tam giác ABC và tam giác CEA có cạnh chung AC và góc AEC = góc BAC = 90 độ (vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A). 

Vậy theo trường hợp góc - cạnh - góc, ta có tam giác ABC và tam giác CEA là hai tam giác đồng dạng.

d) Ta đã biết M là trung điểm của BC, vậy BM = MC. 

Vì MA = ME, nên MA = MC/2. 

Do đó, AM = 1/2 BC.

e) Ta đã biết AB = EC và AB // EC. 

Vì MA = ME, nên MA = MC. 

Vậy theo trường hợp cạnh - góc - cạnh, ta có tam giác MAC và tam giác MEC là hai tam giác đồng dạng. 

Vậy AC = BE và AC // BC.

f) Trên BE lấy K, trên AC lấy H sao cho BK = CH. 

Vì M là trung điểm của BC, nên MK = MC/2. 

Vì tam giác MEC là tam giác đều, nên góc MCE = 60 độ. 

Vậy góc MCK = 60 độ. 

Vì BK = CH, nên góc BKC = góc CHB. 

Vậy góc BKC = góc CHB = 60 độ. 

Vậy tam giác BKC và tam giác CHB là hai tam giác đều. 

Vậy 3 điểm K, M, H thẳng hàng.