Đặt 5²⁵ = a thì

\(A=\frac{a^5-1}{a-1}=\frac{\left(a-1\right)\left(a^4+a^3+a^2+a+1\right)}{a-1}=a^4+a^3+a^2+a+1\)

\(=\left(a^2+3a+1\right)^2-5a\left(a+1\right)^2\)

\(=\left(a^2+3a+1\right)^2-5^{26}\left(a+1\right)^2\)

\(=\)[a² + 3a + 1 + 5¹³ (a + 1)][a² + 3a + 1 - 5¹³ (a + 1)]

Đây là tích hai số khác 1 nên A là hợp số

\(A=\frac{5^{25.5}-1}{5^{25}-1}\)=\(\frac{a^5-1}{a-1}\) =\(\frac{\left(a-1\right)\left(a^4+a^3+a^2+a^1+1\right)}{a-1}\)=\(\left(a^4+a^3+a^2+a^1+1\right)\)

voi a=5^{^25}

^{=> A co tan cung =4  luon chia het cho2 => A la hop so}

Trường hợp p = 2 thì 2^p + p^2 = 8 là hợp số. 
Trường hợp p = 3 thì 2^p + p^2 = 17 là số nguyên tố. 
Trường hợp p > 3. Khi đó p không chia hết cho 3 và p là số lẻ. Suy ra p chia cho 3 hoặc dư 1 hoặc dư 2, do đó p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3.

Lại vì p lẻ nên 2^p + 1 chia hết cho 3.

Thành thử (2^p + 1) + (p^2 - 1) = 2^p + p^2 chia hết cho 3

=> 2^p + p^2  là hợp số. 
Vậy p = 3

Giả sử a là số nguyên tố.

Đặt A=m( m là số nguyên tố)

Ta có:      A=(5¹²⁵-1)/(5²⁵-1)=m

=>m.(5²⁵-1)=5¹²⁵-1

=>  m.5²⁵-m=5¹⁰⁰.5²⁵-1

=>            m=5²⁵.(m-5¹⁰⁰)+1

=>         m-1=5²⁵.(m-5¹⁰⁰)

Vì m là số nguyên tố.

=> m>1

=>m-1>0

=>5²⁵.(m-5¹⁰⁰)>0

=>m-5¹⁰⁰>0

Đặt m-5¹⁰⁰=n(n>0)=>m=n+5¹⁰⁰.

=>n+5¹⁰⁰-1=5²⁵.n

=>    5¹⁰⁰-1=5²⁵.n-n

=>    5¹⁰⁰-1=(5²⁵-1).n

=>           n=(5¹⁰⁰-1)/(5²⁵-1)

=>      m-n=(5¹²⁵-1)/(5²⁵-1)-(5¹⁰⁰-1)/(5²⁵-1)

=>        5²⁵=(5¹⁰⁰.5²⁵-1-5¹⁰⁰+1)/(5²⁵-1)

=>        5²⁵=(5¹⁰⁰.(5²⁵-1))/(5²⁵-1)

=>        5²⁵=5¹⁰⁰

=> Vô lí

=>N không phải là số nguyen tố.

=>ĐPCM

mình thấy câu tl này có gì đó sai sai!!

a) \(VT=12^8\cdot9^{12}=2^{16}\cdot3^8\cdot3^{24}=2^{16}\cdot3^{32}\)

\(VP=18^{16}=2^{16}\cdot3^{32}\)

=> VT=VP

b) \(\frac{\left(5^4-5^3\right)^3}{125^5}=\frac{64}{25^5}\)

(đề sai)

c) \(\frac{9^3}{\left(3^4-3^3\right)^2}=\frac{1}{4}\)

\(VT=\frac{9^3}{\left(3^4-3^3\right)^2}=\frac{3^6}{\left[3^3\left(3-1\right)\right]^2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}=VP\)

12⁸.9¹²=18⁶

=2¹⁶.3⁸.3²⁴=2¹⁶.3³²

=2¹⁶.3³²=18⁶