Từ phương trình chính tắc của (E) ta có: \(a = 7,b = 5 \Rightarrow c = 2\sqrt 6 {\rm{ }}(do{\rm{ }}{{\rm{c}}^2} + {b^2} = {a^2})\)

Vậy ta có tọa độ các giao điểm của (E) với trục Ox, Oy là: \({A_1}\left( { - 7;{\rm{ }}0} \right)\)\({A_2}\left( {7;{\rm{ }}0} \right)\)\({B_1}\left( {0; - {\rm{ 5}}} \right)\)\({B_2}\left( {0;{\rm{ 5}}} \right)\)

Hai tiêu điểm của (E) có tọa độ là: \({F_1}\left( { - 2\sqrt 6 ;0} \right),{F_2}\left( {2\sqrt 6 ;0} \right)\)

Chu vi: \(P=F_1F_2+MF_1+MF_2=2c+2a=2\sqrt{a^2-b^2}+2a=2\sqrt{169-25}+2.13=50\)

Có \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{11}\)

Tiêu điểm \(F_1\left(\sqrt{11},0\right);F_2\left(-\sqrt{11},0\right)\)

Tiêu cự \(F_1F_2=2\sqrt{11}\)

Trục lớn : 2a = 12

Trục bé 2b = 10

Tâm sai \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{11}}{6}\)

a) (E) có tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) nên \(c = \sqrt 3\).

Phương trình chính tăc của (E) có dạng

\({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

Ta có: \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right) \in (E)\)

\(\Rightarrow {1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1\ (1)\)

Và \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 3\)

Thay vào (1) ta được :

\(\eqalign{ & {1 \over {{b^2} + 3}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \cr & \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^2}(b + 3) \cr}\)

\(\Leftrightarrow 4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow {b^2} = 1\)

Suy ra \({a^2} = 4\)

Ta có a = 2 ; b = 1.

Vậy (E) có bốn đỉnh là : (-2 ; 0), (2 ; 0)

(0 ; -1) và (0 ; 1).

b) Phương trình chính tắc của (E) là :

\({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)

c) (E) có tiêu điểm thứ hai là điểm \(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\). Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm\(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\) và vuông góc với Ox có phương trình \(x = \sqrt 3\).

Phương trình tung độ giao điểm của \(\Delta\) và \((E)\) là :

\({3 \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \pm {1 \over 2}\)

Suy ra tọa độ của C và D là :

\(C\left( {\sqrt 3 ; - {1 \over 2}} \right)\) và \(\left( {\sqrt 3 ;{1 \over 2}} \right)\)

Vậy CD = 1.

Gọi M(x,y) 

Trong (E) có : \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5}\)

Từ đó ta có : \(F_1\left(\sqrt{5};0\right);F_2\left(-\sqrt{5};0\right)\); \(F_1F_2=2\sqrt{5}\) 

=> \(\overrightarrow{F_1M}\left(x-\sqrt{5};y\right)\Rightarrow F_1M^2=\left(x-\sqrt{5}\right)^2+y^2\)

tương tự \(F_2M^2=\left(x+\sqrt{5}\right)^2+y^2\)

Do \(\widehat{F_1MF_2}=90^{\text{o}}\) nên tam giác F₁MF₂ vuông tại M

=> F₁M² + F₂M² = F₁F₂²

<=>  \(\left(x-\sqrt{5}\right)^2+y^2+\left(x+\sqrt{5}\right)^2+y^2=20\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=5\)

Lại có \(M\in\left(E\right)\Rightarrow\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\)

từ đó ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=5\\\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=\dfrac{9}{5}\\y^2=\dfrac{16}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\\y=\pm\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\end{matrix}\right.\)

a) Ta có: a² = 25 => a = 5 độ dài trục lớn 2a = 10

b² = 9 => b = 3 độ dài trục nhỏ 2a = 6

c² = a² – b² = 25 - 9 = 16 => c = 4

Vậy hai tiêu điểm là : F₁(-4 ; 0) và F₂(4 ; 0)

Tọa độ các đỉnh A₁(-5; 0), A₂(5; 0), B₁(0; -3), B₂(0; 3).

b)

4x² + 9y² = 1 <=> + = 1

a²= => a = => độ dài trục lớn 2a = 1

b² = => b = => độ dài trục nhỏ 2b =

c² = a² – b²

= - = => c =

F₁(- ; 0) và F₂( ; 0)

A₁(-; 0), A₂(; 0), B₁(0; - ), B₂(0; ).

c) Chia 2 vế của phương trình cho 36 ta được :

=> + = 1

Từ đây suy ra: 2a = 6. 2b = 4, c =\(\sqrt{5}\)

=> F₁(-\(\sqrt{5}\) ; 0) và F₂(\(\sqrt{5}\) ; 0)

A₁(-3; 0), A₂(3; 0), B₁(0; -2), B₂(0; 2).

Phương trình chính tắc của elip có dạng :  E x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a   ,   b   > 0 )

Ta có :

+ Độ dài trục lớn là 12 nên 2a= 12 => a= 6 .

+ Độ dài trục bé là 6 nên 2b = 6 => b= 3

Vậy phương trình của Elip là: x 2 36 + y 2 9 = 1 .

Chọn C.