\(A\cap B=\left\{{}\begin{matrix}x>m\\x\le\dfrac{2m-1}{3}\end{matrix}\right.\left(1\right)\)

 \(TH1:m< \dfrac{2m-1}{3}\)

\(\Leftrightarrow m-\dfrac{2m-1}{3}< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m-1}{3}< 0\)

\(\Leftrightarrow m< 1\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow A\cap B=\left\{x\in Z|m< x\le\dfrac{2m-1}{3}\right\}\)

\(TH2:m>\dfrac{2m-1}{3}\)

\(\Leftrightarrow m-\dfrac{2m-1}{3}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m-1}{3}>0\)

\(\Leftrightarrow m>1\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow A\cap B=\varnothing\)

Lời giải:

Vì \(\frac{a^2+1}{ab-1}\in\mathbb{Z}\)

\(\Rightarrow a^2+1\vdots ab-1\)

$\Rightarrow b(a^2+1)\vdots ab-1$

$\Leftrightarrow a(ab-1)+a+b\vdots ab-1$

$\Leftrightarrow a+b\vdots ab-1$

$\Rightarrow (a+b)^2\vdots ab-1$

$\Leftrightarrow (a^2+1)+(b^2+1)+2(ab-1)\vdots ab-1$

$\Rightarrow b^2+1\vdots ab-1$ (do $a^2+1\vdots ab-1; 2(ab-1)\vdots ab-1$)

Do đó $\frac{b^2+1}{ab-1}\in\mathbb{Z}$

Ta có đpcm.

Lời giải:

$E=\left\{-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5\right\}$

$A=\left\{1; -4\right\}$

$B=\left\{-1; 2\right\}$

Do đó:

$A\cup B = \left\{-4; -1; 1;2\right\}$

$C_E(A\cup B)=\left\{-5;-3;-2; 0;3;4;5\right\}$

$A\cap B = \varnothing$

$C_E(A\cap B)=E$

1) Áp dụng a/b < 1 <=> a/b < a+n/b+n (a,b,n thuộc N*)

a/b = 1 <=> a/b = a+n/b+n (a,b,n thuộc N*)

a/b > 1 <=> a/b > a+n/b+n (a,b,n thuộc N*)

+ Với a/b < 1 <=> a/b < a+1/b+1

+ Với a/b = 1 <=> a/b = a+1/b+1

+ Với a/b > 1 <=> a/b > a+1/b+1

2) lm tương tự bài 1

1) Trường hợp a cũng là nguyên duơng 
Xét a<b và a>b. 
Xét a<b trước, ta có: 
1-a/b=(b-a)/a..............(1) 
1-(a+1)/(b+1)=(b+1-a-1)/(b+1)=(b-a/(b+1... 
Từ (1) và (2) ta thấy: (b-a)/a<(b-a)/(b+1) (vì hai phân số có cùng tử phân số nào mẫu lớn thì phân số đó nhỏ hơn). Mà (b-a)/a>(b-a)/(b+1) =>((a+1)/(b+1)<a/b 

Trường hợp a cũng là nguyên duơng 
Xét a<b và a>b. 
Xét a<b trước, ta có: 
1-a/b=(b-a)/a..............(1) 
1-(a+1)/(b+1)=(b+1-a-1)/(b+1)=(b-a/(b+1... 
Từ (1) và (2) ta thấy: (b-a)/a<(b-a)/(b+1) (vì hai phân số có cùng tử phân số nào mẫu lớn thì phân số đó nhỏ hơn). Mà (b-a)/a>(b-a)/(b+1) =>((a+1)/(b+1)<a/b 

A

\(P=\left(\dfrac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{b}}-\dfrac{3a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right):\dfrac{\left(a-1\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{2a+2\sqrt{ab}+2b}\left(đk:a\ne b,a\ge0,b\ge0\right)\)

\(=\dfrac{3a-3\sqrt{ab}-3a+a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+\sqrt{b}\right)}.\dfrac{2\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}{\left(a-1\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)

\(=\dfrac{a-2\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}.\dfrac{2}{\left(a-1\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}=\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2.2}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\left(a-1\right)}=\dfrac{2}{a-1}\in Z\)

\(\Rightarrow a-1\inƯ\left(2\right)=\left\{-2;-1;1;2\right\}\)

Do \(a\ge0\)

\(\Rightarrow a\in\left\{0;2;3\right\}\)

Ta có: \(P=\left(\dfrac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\dfrac{3a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right):\left(\dfrac{\left(a-1\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{2a+2\sqrt{ab}+2b}\right)\)

\(=\dfrac{3a-3\sqrt{ab}-3a+a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\cdot\dfrac{2\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}{\left(a-1\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}\cdot\dfrac{2}{a-1}\)

\(=\dfrac{2}{a-1}\)

Để P là số nguyên thì \(a-1\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

hay \(a\in\left\{2;0;3\right\}\)

1.Cho A=\(\dfrac{n+1}{n-2}\)

a)Tìm n ∈ Z để A là phân số

Để A là phân số thì n+1;n-2 ∈​ Z ; n-2 khác 0

<=> n ∈​ Z; n >2

Vậy A là phân số <=> n ∈​ Z; n>2

b)Tìm n∈Z để A∈Z

A ∈​ Z <=> n+1 chia hết cho n-2

<=>n-2+3 chia hết cho n-2

<=>3 chia hết cho n-2 ( vì n-2 chia hết cho n-2)

<=>n-2 ∈​ Ư(3)={1;-1;3;-3}

<=>n ∈​ {3;1;5;-1}

Vậy để A ∈ Z thì n ∈​ {3;1;5;-1}

c)Tìm N∈Z để A lớn nhất

2.Cho B=\(\dfrac{3n+2}{4n+3}\)

Chứng minh B tối giản

1c) Tìm n∈Z để A lớn nhất:

Ta có A=\(\dfrac{n+1}{n-2}\)=\(\dfrac{n-2+3}{n-2}\)=\(\dfrac{n-2}{n-2}\)+\(\dfrac{3}{n-2}\)=1+\(\dfrac{3}{n-2}\)

=> A lớn nhất <=> \(\dfrac{3}{n-2}\) lớn nhất

<=>n-2 nhỏ nhất; n-2>0; n-2∈Z

<=>n-2=1

<=>n=3

Vậy A lớn nhất <=> n-3