Tứ giác ADHE là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD=EH\\AE=DH\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\dfrac{S_{ABC}}{S_{ADE}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB.AC}{\dfrac{1}{2}.AD.AE}=\dfrac{AB.AC}{AD.AE}=\dfrac{AB.AC}{DH.EH}=\left(\dfrac{AB}{EH}\right).\left(\dfrac{AC}{DH}\right)\)

Mà \(DH||AC\) (cùng vuông góc AB) \(\Rightarrow\dfrac{AC}{DH}=\dfrac{BC}{BH}\) (Talet)

Tương tự: \(\dfrac{AB}{EH}=\dfrac{BC}{CH}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{ABC}}{S_{ADE}}=\left(\dfrac{BC}{BH}\right)\left(\dfrac{BC}{CH}\right)=\dfrac{BC^2}{BH.CH}\ge\dfrac{BC^2}{\dfrac{1}{4}\left(BH+CH\right)^2}=\dfrac{4BC^2}{BC^2}=4\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(BH=CH\) hay tam giác ABC vuông cân tại A

a) Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{EAD}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), E∈AC, D∈AB)

\(\widehat{ADH}=90^0\)(HD⊥AB)

\(\widehat{AEH}=90^0\)(HE⊥AC)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Xét ΔCEH vuông tại E có EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CH(M là trung điểm của CH)

nên \(EM=\dfrac{CH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(MH=\dfrac{CH}{2}\)(M là trung điểm của CH)

nên EM=MH

Xét ΔMEH có ME=MH(cmt)

nên ΔMEH cân tại M(Định nghĩa tam giác cân)

⇒\(\widehat{MEH}=\widehat{MHE}\)(hai góc ở đáy)

Bạn tự vẽ hình nha

Do He vuông góc AC -> góc HEA=góc HEC

      HD vuông AB -> góc HDB=góc HDA

Xét tứ giác AEHD có

góc HEA = 90 độ( cmt)

góc HDA= 90 độ(cmt)

góc DAE= 90 độ( tam giác ABC vuông tại A)

-> tứ giác AEHD là hình chữ nhật( dấu hiệu tứ giác có 3 góc vuông)

Xét tứ giác CEHF có

MH=MC=1/2 HC( m là trung điểm hc)

ME=MF=1/2EF(e đối f qua m-gt)

mà hc cắt ef tại m

-> CEHF là hình bình hành

Ta có CEHF là hbh( cmt)

mà góc HEC= 90 độ (cmt)

-> CEHF là hình chữ nhật

a) Xét tứ giác AHDE có 

\(\widehat{DAE}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), D∈AB, E∈AC)

\(\widehat{ADH}=90^0\)(HD⊥AB)

\(\widehat{AEH}=90^0\)(HE⊥AC)

Do đó: AHDE là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Xét ΔCEH vuông tại E có EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CH(M là trung điểm của CH)

nên \(EM=\dfrac{CH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(MH=CM=\dfrac{CH}{2}\)(M là trung điểm của CH)

nên EM=MH=CM

Xét ΔEMH có ME=MH(cmt)

nen ΔEMH cân tại M(Định nghĩa tam giác cân)

⇒\(\widehat{MEH}=\widehat{MHE}\)

Gọi O là giao điểm của AH và DE

Ta có: AEHD là hình chữ nhật(cmt)

nên hai đường chéo AH và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau(Định lí hình chữ nhật)

mà AH cắt DE tại O

nên O là trung điểm chung của AH và DE

⇒\(AO=OH=\dfrac{AH}{2}\) và \(EO=DO=\dfrac{ED}{2}\)

mà AH=ED(cmt)

nên AO=OH=EO=DO

Xét ΔOHE có OE=OH(cmt)

nên ΔOHE cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)

⇒\(\widehat{OEH}=\widehat{OHE}\)(hai góc ở đáy)

Ta có: \(\widehat{MEO}=\widehat{MEH}+\widehat{OEH}\)(tia EH nằm giữa hai tia EM,EO)

mà \(\widehat{MEH}=\widehat{MHE}\)(cmt)

và \(\widehat{OEH}=\widehat{OHE}\)(cmt)

nên \(\widehat{MEO}=\widehat{MHE}+\widehat{OHE}\)

mà \(\widehat{MHE}+\widehat{OHE}=\widehat{MHO}\)(tia HE nằm giữa hai tia HO và HM)

nên \(\widehat{MEO}=\widehat{MHO}\)

\(\Rightarrow\widehat{MED}=\widehat{CHA}\)

mà \(\widehat{CHA}=90^0\)(AH⊥BC)

nên \(\widehat{MED}=90^0\)

Xét ΔMED có \(\widehat{MED}=90^0\)(cmt)

nên ΔMED vuông tại E(Định nghĩa tam giác vuông)

c) Để DE=2EM thì AH=HC(AH=DE và HC=2EM)

Xét ΔAHC vuông tại H có AH=HC(cmt)

nên ΔAHC vuông cân tại H(Định nghĩa tam giác vuông cân)

hay \(\widehat{C}=45^0\)

Vậy: ΔABC phải có thêm điều kiện \(\widehat{C}=45^0\) thì DE=2EM

mong mọi người trả lời  hộ em

Bạn tự vẽ hình. Gợi ý:

- Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

*Gọi K là giao điểm của AH và EF. Khi đó K là trung điểm AH.

- Chứng minh tam giác AHM cân tại A. Suy ra \(\widehat{MAB}=\widehat{HAB}\)

Mặt khác \(\widehat{HAB}=\widehat{ABI}\) (BI//AH) \(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{ABI}\)

\(\Rightarrow\)△ABI cân tại I nên AI=BI.

*CA cắt BI tại S. Chứng minh I là trung điểm BS.

Đến đây bài toán đã trở nên đơn giản hơn (chỉ chú ý vào các điểm C,A,H,B,S và K).

- CK cắt BS tại I'. Khi đó ta cũng c/m được I' là trung điểm BS.

\(\Rightarrow I\equiv I'\) nên C,K,I thẳng hàng.

Suy ra đpcm.

giúp em với ạt các anh chị ơi

Em cảm ơn

a: Xét tứ giác AEHF có

góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ

=>AEHF là hình chữ nhật

=>AE=HF

b: AEHF là hình chữ nhật

=>AH=EF

Giúp em với ạ SOS em cần gấp

Hình tự túc, bùn ngủ => ko vẽ nữa.

a) Ta có: AC _|_ AB ; HE _|_ AB =>  AC // HE

=> FHA^ = EAH^ (sole trong)

    FAH^ = EHA^ (sole trong)

Xét \(\Delta\)FAH và \(\Delta\)EHA :

FHA^ = EAH^ 

AH chung

FAH^ = EHA^ 

=> \(\Delta\)FAH = \(\Delta\)EHA (g.c.g)

=> FA = EH (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta\)FAE và \(\Delta\)HEA:

FAE^ = HEA^ =90o

FA = EH (cmt)

AE chung

=> \(\Delta\)FAE = \(\Delta\)HEA (2 cạnh góc vuông)

=> FE = HA (2 cạnh tương ứng)

b) Bn ơi, chữ EI hơi lạ. Xem lại nhé.