Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{18x-27y}{100}=\frac{27y-24z}{101}=\frac{24z-18x}{102}=\frac{18x-27y+27y-24z+24z-18x}{100+101+102}=\frac{0}{303}=0\)

\(\Rightarrow\frac{27y-24z}{101}=0\Rightarrow27y-24z=0\Rightarrow27y=24z\Rightarrow9y=8z\Rightarrow\frac{y}{8}=\frac{z}{9}\) (1)

\(\frac{24z-18x}{102}=0\Rightarrow24z-18x=0\Rightarrow18x=24z\Rightarrow3x=4z\Rightarrow\frac{x}{4}=\frac{z}{3}\Rightarrow\frac{x}{12}=\frac{z}{9}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{x}{12}=\frac{y}{8}=\frac{z}{9}=\frac{x+y+z}{12+8+9}=\frac{116}{29}=4\)

=> x/12 = 4 => x = 48

y/8 = 4 => y = 32

z/9 = 4 => z = 36

Đặt \(u=x^{669}\); \(v=y^{669}\left(u,v\in Z\right)\)thì PT ( 1 ) có dạng \(u^3=v^3-v^2-v+2\).

Nhận thấy:

\(u^3=v^3-v^2-v+2=\left(v-1\right)^3+2\left(v-1\right)^2+1>\left(v-1\right)^3\)và \(u^3=v^3-\left(v-1\right).\left(v+2\right)\)

+ Nếu \(v>1\)hoặc \(v< -2\)thì \(\left(v-1\right)\left(v+2\right)>0\), suy ra: \(\left(v-1\right)^3< u^3< v^3\Leftrightarrow v-1< u< v\), điều này không thể xảy ra khi \(u,v\in Z.\)

+ Với \(-2\le v\le1\)và \(v\in Z\)thì \(v\in\left\{-2;-1;0;1\right\}\)

Nếu \(v=-2\)thì \(y^{669}=-2\), nên \(y\notin Z.\)

Nếu \(v=-1\)thì \(u=1\), suy ra: \(x=-1;y=1\)

Nếu \(v=0\)thì \(u=2\), suy ra: \(x^{669}=2\), nên \(x\notin Z.\)

Nếu \(v=1\)thì \(u=1\), suy ra: \(x=y=1.\)

Vậy các cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn ( 1 ) là ( 1 ; 1 ) và ( 1 ; -1 ).

hay đúng là An trần có khác

Nguyễn Ngọc Sáng -_-

F=x³+y³+2xy=(x+y)³-3xy(x+y)+2xy

=(x+y)³-xy(3x+3y-2)

=2007³-xy[3.2007-2]

làm tiếp đi 

chú ý \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)(bđt AM-GM)

Đầu tiên tìm GTLN, GTNN của xy.

Không mất tính tổng quát giả sử:

\(x\ge y+1\)

\(\Leftrightarrow x-y-1\ge0\)

\(\Leftrightarrow x-y-1+xy\ge xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y+1\right)\ge xy\)

Từ đây ta suy được:

\(2006.1< 2005.2< 2004.3< ...< 1003.1004\)

Vậy \(min_{xy}=2006.1;max_{xy}=1003.1004\)

Ta lại có:

\(F=\left(x+y\right)^3-xy\left(3x+3y-2\right)\)

Thế vô là xong

\(x^2-\left(2007+y\right)x+3+y=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2007x-xy+3+y=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-2006x+2006-xy+y=2003\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)-2006\left(x-1\right)-y\left(x-1\right)=2003\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2006-y\right)=2003\)

Do x;y là số nguyên nên x-1 là ước của 2003, 2003 là số nguyên tố nên ta có \(x-1=\left\{-2003;-1;1;2003\right\}\)

\(\Rightarrow x=\left\{-2002;0;2;2004\right\}\)

Với x=-2002 thì -2002-2006-y=-1 => y=-4007

Với x=0 thì 0-2006-y=-2003 => y=-3

Với x=2 thì 2-2006-y=2003 => y=-4007

Với x=2004 thì 2004-2006-y=1 => y=-3

Vậy các cặp số nguyên (x;y) cần tìm là (-2002;-4007);(-2;-4007);(0;-3);(2004;-3)

a)

Ta có: \(9x=5y=15z\Rightarrow\dfrac{9x}{45}=\dfrac{5y}{45}=\dfrac{15z}{45}\Rightarrow\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{9}=\dfrac{z}{3}\Rightarrow\dfrac{-x}{-5}=\dfrac{y}{9}=\dfrac{z}{3}_{\left(1\right)}\)

và \(-x+y-z=11_{\left(2\right)}.\)

Từ \(_{\left(1\right)}\) và \(_{\left(2\right)}\), kết hợp tính chất dãy tỉ só bằng nhau có:

\(\dfrac{-x}{-5}=\dfrac{y}{9}=\dfrac{z}{3}=\dfrac{-x+y-z}{-5+9-3}=\dfrac{11}{1}=11.\)

Từ đó: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-x}{-5}=11\Rightarrow-x=-55\Rightarrow x=55.\\\dfrac{y}{9}=11\Rightarrow y=99.\\\dfrac{z}{3}=11\Rightarrow z=33.\end{matrix}\right.\)

Vậy.....

b); c); d); e) làm tương tự.