a) Vì AH là đường kính \(\Rightarrow\angle AEH=\angle AFH=90\)

Vì BC là đường kính \(\Rightarrow\angle BAC=90\Rightarrow\angle AEH=\angle AFH=\angle EAF=90\)

\(\Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật

\(\Rightarrow\angle AEF=\angle AHF=\angle ACH\left(=90-\angle HAC\right)\)

\(\Rightarrow\angle AEF+\angle ABC=\angle ACH+\angle ABC=90\)

mà \(\angle ABC=\angle BAO\) (\(\Delta ABO\) cân tại O)

\(\Rightarrow\angle AEF+\angle BAO=90\Rightarrow EF\bot AO\)

c) EF cắt BC tại T'.T'A cắt (O) tại K'

Vì \(\angle AEF=\angle ACH\Rightarrow EFCB\) nội tiếp

Xét \(\Delta T'EB\) và \(\Delta T'CF:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle T'EB=\angle T'CF\\\angle FT'Cchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta T'EB\sim\Delta T'CF\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{T'E}{T'C}=\dfrac{T'B}{T'F}\Rightarrow T'E.T'F=T'B.T'C\)

Vì AK'BC nội tiếp \(\Rightarrow\angle T'K'B=\angle T'CA\)

Xét \(\Delta T'K'B\) và \(\Delta T'CA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle T'K'B=\angle T'CA\\\angle AT'Cchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta T'K'B\sim\Delta T'CA\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{T'K'}{T'C}=\dfrac{T'B}{T'A}\Rightarrow T'K'.T'A=T'B.T'C\)

\(\Rightarrow T'K'.T'A=T'E.T'F\Rightarrow\dfrac{T'K'}{T'F}=\dfrac{T'E}{T'A}\)

Xét \(\Delta T'EK'\) và \(\Delta T'AF:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{T'K'}{T'F}=\dfrac{T'E}{T'A}\\\angle FT'Achung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta T'EK'\sim\Delta T'AF\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle T'K'E=\angle T'FA\)

\(\Rightarrow AK'EF\) nội tiếp \(\Rightarrow K'\in\) đường tròn đường kính AH

\(\Rightarrow K'\equiv K\Rightarrow T'\equiv T\Rightarrow T,E,F\) thẳng hàng

Cái trên là hình vẽ +gợi ý ạ

Xác định được AB = BC = CD = DE = EF = FA.

Xác định được AB = BC = CD = DE = EF = FA.

∆ ACB nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên  ∆ ABC vuông tại C

CO = OA = (1/2)AB (tính chất tam giác vuông)

AC = AO (bán kính đường tròn (A))

Suy ra: AC = AO = OC

∆ ACO đều góc AOC = 60 °

∆ ADB nội tiếp trong đường tròn đường kính AB nên  ∆ ADB vuông tại D

DO = OB = OA = (1/2)AB (tính chất tam giác vuông)

BD = BO(bán kính đường tròn (B))

Suy ra: BO = OD = BD

∆ BOD đều

Mà AD, CO là hai đường chéo của hình thoi AODC nên AD vuông góc với OC

a) Xét tứ giác AFMO có 

\(\widehat{FAO}\) và \(\widehat{FMO}\) là hai góc đối

\(\widehat{FAO}+\widehat{FMO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: AFMO là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b, ta có: \(MN\perp AO\Leftrightarrow\stackrel\frown{AM}=\stackrel\frown{AN}\Leftrightarrow\widehat{ANM}=\widehat{AMN^{\left(1\right)}}\)

\(\widehat{FMA}=\widehat{ANM}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AM}\right)^{\left(2\right)}\)

Từ \(\left(1\right)va\left(2\right)\) ta có \(\widehat{FMA}=\widehat{AMN}\)

Suy ra MA là tia phân giác của góc FMN

c) Do MA là phân giác của góc FMN mà MA vuông góc với PF nên MP = MF.

Mặt khác dễ thấy P là trực tâm của tam giác MAO nên AP vuông góc với MO. Suy ra AP // ME. Từ đó \(\dfrac{MP}{PC}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{EF}{MF}=\dfrac{EF}{MP}\) (theo định lý Thales và MP = MF).

Vậy MP² = EF . CP