sẽ bị trừ 1 nửa số điểm vì vẽ hình sai (đó là cô mình sẽ lm, còn cô b thì mình ko bt)

Thế này phải ko? 

\(\left(a+b\right)^2.\frac{a+b}{2}\ge2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)

 ta có: a−√a+14 =(√a−12 )2≥0    (1)

         b−√b+14 =(√b−12 )2≥0(2)

từ (1),(2)=.>a+b−√a−√b+12 ≥0

⇒a+b+12 ≥√a+√b   (3)

Mà  a+b≥2√ab   (BĐT cauchy cho a>0;b>0)    (4)

từ(3),(4) => (a+b)(a+b+12 )≥2√ab(√a+√b)

⇔(a+b)2+a+b2 ≥2a√b+2b√a

=>đpcm

Dấu nhân á
 

Giả sử \(a\left(2-b\right)>1,b\left(2-c\right)>1,c\left(2-a\right)>1\)

\(\Rightarrow abc\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)>1\) (1)

Mặt khác, ta có: 

\(a\left(2-a\right)=-a^2+2a=-\left(a-1\right)^2+1\le1\)

Tương tự, \(b\left(2-b\right)\le1,c\left(2-c\right)\le1\)

\(\Rightarrow abc\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\le1\),điều này trái với (1)

Vậy điều giả sử là sai.

Do đó ít nhất 1 trong 3 bất đẳng thức trên là sai.

\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)

=> \(2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac\)

=>(\(a^2-2ab+b^2\)) +\(\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\)=0

=>\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

=> a=b=c(DPCM)

Bn ơi đề phải là a²+b²+c²=ab+ac+bc

Ta có 

a²+b²+c²=ab+ac+bc

=> 2(a²+b²+c²)=2(ab+ac+bc)

=> 2a²+2b²+2c²=2ab+2ac+2bc

=> 2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0

=> (a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+ (c²-2ca+a²) =0

=> (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0

=> a-b=b-c=c-a=0

=> a=b=c

=> đpcm

Lời giải:
$\frac{a^2+b^2}{2}-ab=\frac{a^2+b^2-2ab}{2}=\frac{(a-b)^2}{2}\geq 0$ với mọi $a,b$

$\Rightarrow \frac{a^2+b^2}{2}\geq ab$ (đpcm)

a) a³+b³+a²c+b²c-abc

= (a+b)(a²-ab+b²)+c(a²+b²)-abc

=(a+b) [ (a+b)²-3ab]+c.[(a+b)²-2ab]-abc

=(a+b)(a+b)²-3ab(a+b)+c(a+b)²-3abc

=(a+b)²(a+b+c)-3ab(a+b+c)

=(a+b)².0-3ab.0

=0

b) ax+ay+2x+2y+4

=a(x+y)+2(x+y)+4

=(x+y)(a+2)+4

=(a-2)(a+2)+4

=a²-4+4

=a²

c) A=1+x+x²+...+x⁴⁹=>Ax=x+x²+x³+...+x⁵⁰

                                           ^- A=1+x+x²+...+x⁴⁹

                               ^---> Ax-A=x⁵⁰-1

d)(a+b)(a+c)+(c+a)(c+b)

=a²+ac+ab+bc+c²+bc+ac+ab

=a²+c²+2ac+2ab+2bc

=2b²+2bc+2ac+2ab

=2b(b+c)+2a(b+c)

=2b(b+c)(b+a)