1.

\(a+b+c=0\) nên pt luôn có 2 nghiệm

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(A=\dfrac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+2}=\dfrac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\dfrac{2\left(m-1\right)+3}{m^2+2}=\dfrac{2m+1}{m^2+2}\)

\(A=\dfrac{m^2+2-\left(m^2-2m+1\right)}{m^2+2}=1-\dfrac{\left(m-1\right)^2}{m^2+2}\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m=1\)

2.

\(\Delta=m^2-4\left(m-2\right)=\left(m-2\right)^2+4>0;\forall m\) nên pt luôn có 2 nghiệm pb

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{\left(x_1^2-2\right)\left(x_2^2-2\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=4\Rightarrow\dfrac{\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1^2+x_2^2\right)+4}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=4\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2+4}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=4\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(m-2\right)^2-2m^2+4\left(m-2\right)+4}{m-2-m+1}=4\)

\(\Rightarrow-m^2=-4\Rightarrow m=\pm2\)

Giả sử ta định m sao cho pt \(x^2-mx+m-1=0\left(1\right)\) luôn có nghiệm.

Theo định lí Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(C=\dfrac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2\left(x_1x_2+1\right)}=\dfrac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\dfrac{2\left(m-1\right)+3}{m^2+2}=\dfrac{2m+1}{m^2+2}\)

\(\Rightarrow C\left(m^2+2\right)=2m+1\Rightarrow Cm^2-2m+\left(2C+1\right)=0\left(2\right)\)

Coi phương trình (2) là phương trình ẩn m tham số C, ta có:

\(\Delta'=1^2-C.\left(2C+1\right)=-2C^2-C+1\)

Để phương trình (2) có nghiệm thì:

\(\Delta'\ge0\Rightarrow-2C^2-C+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2C-1\right)\left(C+1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow-1\le C\le\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(MinC=-1;MaxC=\dfrac{1}{2}\)

\(\Delta'=m^2-2\left(m^2-2\right)=4-m^2\ge0\Rightarrow-2\le m\le2\)

Khi đó ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=\frac{m^2-2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(A=\frac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+2}=\frac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\frac{m^2+1}{m^2+2}=1-\frac{1}{m^2+2}\)

Do \(0\le m^2\le4\Rightarrow\frac{1}{6}\le\frac{1}{m^2+2}\le\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A_{min}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow m=0\\A_{max}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\Rightarrow m=\pm2\end{matrix}\right.\)

\(\Delta=\left(-m\right)^2-4\left(m-1\right).1=\left(m-2\right)^2\)

\(\Rightarrow\)Pt có hai nghiệm phân biệt \(\forall m\ne2\)

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{cases}}\),\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2=\left(m-1\right)^2+1\) thay vào B:

\(B=\frac{2\left(m-1\right)+3}{\left(m-1\right)^2+1+2\left[\left(m-1\right)+1\right]}\)

\(B=\frac{2m+1}{m^2+2}\)

Mình chỉ biết làm đến đấy thôi, xl bạn T_T.
 

Giờ mình ra GTNN rồi

\(B=\frac{2m+1}{m^2+2}\)

\(B=\frac{\frac{1}{2}\left(m^2+4m+4\right)-\frac{1}{2}\left(m^2+2\right)}{m^2+2}=\frac{\left(m+2\right)^2}{2\left(m^2+2\right)}-\frac{1}{2}\ge\frac{-1}{2}\)

\(\Rightarrow B_{min}=\frac{-1}{2}\)tại \(m=-2\)

Cảm ơn vì sự giúp đỡ của bạn nha . Mình tìm ra được các giải hợp lí hơn rùi

\(\Delta=m^2-4\left(m-1\right)=\left(m-2\right)^2\ge0\forall m\)

=> phương trình  luôn có nghiêm zới \(\forall m\)

ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{cases}=>x^2_1+x^2_2}=m^2-2m+2\)

ta có \(A=\frac{2x_1x_2+3}{x^2_1+x^2_2+2\left(x_1x_2+1\right)}=\frac{2m+1}{m^2+2}\)

=> \(A-1=\frac{-\left(m-1\right)^2}{m^2+2}\le0\forall m\)

=>\(A\le1\)

dấu = xảy ra khi zà chỉ khi m=1

\(a+b+c=1-m+m-1=0\)

\(\Rightarrow\) Pt luôn có 2 nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=1\\x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(\frac{2.1\left(m-1\right)+3}{1+\left(m-1\right)^2+2\left(1+m-1\right)}=1\)

\(\Leftrightarrow2m+1=m^2+2\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m+1=0\Rightarrow m=1\)

Nguyễn Việt Lâm giúp mk nhá..

\(\Delta=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\ge0\Rightarrow\) pt luôn có nghiệm

Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(P=\frac{2x_1x_2+3}{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2+2}=\frac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\frac{2\left(m-1\right)+3}{m^2+2}=\frac{2m+1}{m^2+2}\)

c/

\(P=\frac{2m+1}{m^2+2}\Leftrightarrow Pm^2+2P=2m+1\)

\(\Leftrightarrow Pm^2-2m+2P-1=0\) (1)

Do pt có nghiệm với mọi m nên (1) phải có nghiệm m với tham số P

\(\Rightarrow\Delta'=1-P\left(2P-1\right)\ge0\Leftrightarrow-2P^2+P+1\ge0\)

\(\Rightarrow-\frac{1}{2}\le P\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P_{mim}=-\frac{1}{2}\\P_{max}=1\end{matrix}\right.\)