a²+b²+c²=(a²+2ac+c²)-2ac+b²=(a+c)²-2b²+b²=(a+b+c)(a-b+c)
mà a²+b²+c² là số nguyên tố và a+b+c>a-b+c nên a-b+c=1
=> a+c=b+1 => a²+2ac+c²=b²+2b+1 => a²+b²=2b+1=2a+2c+1+1
=>a²-2a+1+c²-2c+1=0 => (a-1)²+(c-1)²=0=>a=c=1=>b=1
Vậy (a,b,c) cần tìm là (1,1,1)

Câu hỏi của Nguyễn Quốc Hưng - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo bài ở link này nhé!

Dễ nhưng tao ko biết

Với mọi số nguyên n ta có \(n\le n^2\). Do đó từ đề bài suy ra :

\(a^2\le b\le b^2\le c\le c^2\le a\le a^2\)

Do đó \(a^2=b=b^2=c=c^2=a=a^2\)

Ta có \(a^2=a\Leftrightarrow a(a-1)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=0\\a=1\end{cases}}\)

Tương tự \(\orbr{\begin{cases}b=0\\b=1\end{cases}},\orbr{\begin{cases}c=0\\c=1\end{cases}}\)

Có 2 đáp số a = b = c = 0 và a = b = c = 1

ta có : \(2b=a+c\Leftrightarrow b+b=a+c\Leftrightarrow b-a=c-b\)

           \(2c=b+d\Leftrightarrow c+c=b+d\Leftrightarrow c-b=d-c\)

          \(\Rightarrow b-a=d-c\)

vì \(a;b;c;d\inℤ\Rightarrow b-a;d-c\inℤ\)

đặt \(b-a=c-b=d-c=k\left(k\inℤ\right)\)

ta có : \(b-a=k\Rightarrow a=b-k\)

           \(c-b=k\Rightarrow c=k+b\)

           \(d-c=k\Rightarrow d=c+k\)

ta có : \(c^2\ge0\Rightarrow d^2\le c^2+d^2< 4\Rightarrow d^2< 4\)

mà \(d=c+k\Rightarrow\left(c+k\right)^2< 4\Rightarrow\left(k+b+k\right)^2< 4\)

\(\Rightarrow4\left(1+k\right)^2< 4\) ( vì \(b=2\) ) \(\Rightarrow\text{ }\left[2\left(1+k\right)\right]^2< 4\)

\(\Rightarrow4\left(1+k\right)^2< 4\Rightarrow\left(1+k\right)^2< 1\) mà \(\left(1+k\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow0\le\left(1+k\right)^2< 1\Rightarrow0\le1+k< 1\Rightarrow1+k=0\Rightarrow k=-1\)( vì \(k\inℤ\Rightarrow1+k\inℤ\) )

ta có \(c=k+b=-1+2=1\) ( vì \(b=2;k=-1\) )

\(\Rightarrow d=c+k=1+\left(-1\right)=0\) ( vì \(c=1;k=-1\) )

\(\Rightarrow a=b-k=2-\left(-1\right)=3\)

thử lại 

\(2b=a+c=2.2=3+1\Rightarrow4=4\) ( thỏa mãn )

\(2c-b+d=2.1=2+0\Rightarrow2=2\) ( thỏa mãn )

\(c^2+d^2< 4\Rightarrow1^2+0^2< 4\Rightarrow1< 4\) ( thỏa mãn )

vậy \(a=3\)

ta có : 2b = a + c⇔b + b = a + c⇔b − a = c − b
           2c = b + d⇔c + c = b + d⇔c − b = d − c
          ⇒b − a = d − c
vì a;b;c;d ∈ ℤ⇒b − a;d − c ∈ ℤ
đặt b − a = c − b = d − c = k k ∈ ℤ
ta có : b − a = k⇒a = b − k
           c − b = k⇒c = k + b
           d − c = k⇒d = c + k
ta có : c
2
≥ 0⇒d
2
≤ c
2
+ d
2
< 4⇒d
2
< 4
mà d = c + k⇒ c + k
2
< 4⇒ k + b + k
2
< 4
⇒4 1 + k
2
< 4 ( vì b = 2 ) ⇒ 2 1 + k
2
< 4
⇒4 1 + k
2
< 4⇒ 1 + k
2
< 1 mà  1 + k
2
≥ 0
⇒0 ≤ 1 + k
2
< 1⇒0 ≤ 1 + k < 1⇒1 + k = 0⇒k = −1( vì 
k ∈ ℤ⇒1 + k ∈ ℤ )
ta có c = k + b = −1 + 2 = 1 ( vì b = 2;k = −1 )
⇒d = c + k = 1 + −1

vậy a=3