Ta có 2bd=c(b+d) \(=>\frac{2b}{c}=\frac{b+d}{d}\)

Mà a+c=2b nên \(\frac{a+c}{c}=\frac{b+d}{d}=>\frac{a+c}{b+d}=\frac{c}{d}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a+c}{b+d}=\frac{c}{d}=\frac{a+c-c}{b+d-d}=\frac{a}{b}\)

Vậy \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

\(2bd=c\left(b+d\right)\Rightarrow2b=\frac{c\left(b+d\right)}{d}\)

\(\Rightarrow a+c=\frac{c\left(b+d\right)}{d}\Rightarrow\frac{a+c}{c}=\frac{b+d}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}+1=\frac{b}{d}+1\)

\(\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Ta có: 

\(a+c=2b_{\left(1\right)}\)

\(2bd=c\left(b+d\right)_2\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)\(\Rightarrow\)\(\left(a+c\right).d=c.\left(b+d\right)\)

\(\Rightarrow\)\(ad+cd=cb+cd\)( tính chất phân phối )

\(\Rightarrow\)\(ad=bc\)( rút gọn cả 2 vế cho \(cd\))

\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)( tính chất cơ bản của tỉ lệ thức )

\(\Rightarrow\)\(\left(đpcm\right)\)

a + c  =2b ( 1 )

2bd = c(b+d) ( 2)

từ (1) và (2) ta được:

( a+ c ) .d = c.( b + d )

theo tính chất phân phối ta có"

ad + cd = cb + cd

=> ad = cb => a/b = c/d

k mknhes

Ta có:

a+c=2b (*1)

2bd=c(b+d) (*2)

Thay (*1) vào (*2) ta có:

(a+c)d=c(b+d)

ad+cd=cb+cd

mà cd=cd

=> ad=cb

=> \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Từ a+c=2b=> 2bd=(a+c)b=c(b+d)

ab+bc=cb+cd

ab+bc-cb-cd=0

ab-cd=0

ab=cd => a/b=c/d (đpcm)

Đặt a +c vào 2bd ta có

(a + c)d = c(b + d)

=> ad + cd = cb + cd

=> ad = cb

=> \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Đặt a +c vào 2bd ta có

(a + c)d = c(b + d)

=> ad + cd = cb + cd

=> ad = cb

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Thay a+c=2b vào 2bd=c(b+d) ta đc :
(a+c)d=c(b+d)
ad+cd=bc+cd
ad=bc
nên a/b=c/d(đpcm)