Đề bài bị trái dấu bạn nhé

CM \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\) 

\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le\left(2b-a\right)\left(ab+3b^2\right)\) 

\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le2ab^2+6b^3-a^2b-3ab^2\) 

\(\Leftrightarrow b^3+a^3-ab^2-ba^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)đúng với mọi a, b>0 

CMTT các hạng tử khác 

\(\Rightarrow P=\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^3}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^3}+\frac{5a^3-c^3}{ac+3a^2}\le2b-a+2c-b+2a-c=a+b+c\)

vậy đề sai rồi chứ mình giải mãi chả ra mà toàn ngược dấu nên mình tưởng mình sai 

Xem kỹ lại đề nhé. Anh không nghĩ đề đúng đâu

uk e sorry sửa lại đề rồi đấy 

Chứng minh: \(\frac{5a^3-b^3}{ab+3b^2}\le2a-b\)

Còn lại tương tự

Ta có: \(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}=\frac{3a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{2a^3}{ab+3a^2}\)

\(=a-\frac{a^2b+b^3}{ab+3a^2}+\frac{2a^3}{ab+3a^2}\)

= \(a-\frac{b\left(a^2+b^2\right)}{a\left(b+3a\right)}+\frac{2a^3}{a\left(b+3a\right)}\) (1)

Áp dụng BĐT AM - GM ( x² + y² \(\ge2xy\)) ta có:

(1) \(\le a-\frac{2ab^2}{a\left(b+3a\right)}+\frac{2a^2}{b+3a}\) = \(a-\frac{2b^2}{b+3a}+\frac{2a^2}{b+3a}\) (2)

Tương tự ta cũng có:

\(\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\le b-\frac{2c^2}{c+3b}+\frac{2b^2}{c+3b}\left(3\right)\)

\(\frac{5c^3-a^2}{ca+3c^2}\)\(\le c-\frac{2a^2}{a+3c}+\frac{2c^2}{a+3c}\)(4)

Từ (2), (3), (4) \(\Rightarrow\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\le a+b+c+\left(\frac{2a^2}{a+3c}-\frac{2a^2}{a+3c}\right)+\left(\frac{2b^2}{b+3c}-\frac{2b^2}{b+3c}\right)+\left(\frac{2c^2}{c+3a}-\frac{2c^2}{c+3a}\right)=a+b+c\le2018\)

Vậy \(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\le2018\)

\(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}-\left(2a-b\right)=-\frac{\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)}{ab+3a^2}\le0\)

\(\Rightarrow\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\le2a-b\)

Câu hỏi của NGUYỄN DOÃN ANH THÁI - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath làm tương tự chỗ cuối thay a+b+c=2015 là dc

Ta có BĐT phụ \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)

\(\Leftrightarrow-\frac{\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)}{b\left(a+3b\right)}\le0\) *luôn đúng*

Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:

\(P\le2a-b+2b-c+2c-a=a+b+c=3\)

Dấu '=" khi \(a=b=c=1\)

Xét \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}-\left(2b-a\right)=\frac{5a^3-a^3-\left(ab+3b^2\right)\left(2b-a\right)}{ab+3b^2}\)

\(=\frac{5b^3-a^3-\left(2ab^2-a^2b+6b^3-3b^2a\right)}{ab+3b^2}=\frac{-b^5-a^3+a^2b+b^2a}{ab+3b^2}\)

\(=\frac{-\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2}{ab+3b^3}\le0\)

\(\Rightarrow\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)

Ta có 2 BĐT tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}\le2c-b\\\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le2a-c\end{cases}}\)

Cộng 3 vế BĐT trên ta được \(P\le2\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=a+b+c=3\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=3\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=1}\)

bạn chép sai đề ak