a) Tự làm nhá 

b) +) CM \(\Delta ADC~\Delta HDE\left(g-g\right)\)

=> DA.HE=DH.AC

+) \(\Delta BAD\)cân\(=>\widehat{BAD}=90^0-\frac{1}{2}\widehat{B}=\widehat{CAD}\)

mà \(\widehat{CAD}=\widehat{B}\)

=> AD là tia phân giác góc HAC => Góc HAE = góc CAE => cung HE= cung CE => cạnh HE = cạnh CE => tam giác cân (dpcm)

3) Xét \(\Delta MNP\)zuông tại M ngoại tiếp đươg tròn tâm I , bán kính r , tiếp xúc các cạnhMN  , MP,NP thứ tự tại D, E ,F

ta có \(\widehat{IEM}=\widehat{IDM}=\widehat{DME}=90\);ID =IE=r

=> tứ giác IEMD là hình zuông

=> MD=ME=r

Có ND=NF,PE =PF( các tia tiếp tuyến cắt nhau)

=> MN+MP-NP=MD+ND+ME+PE-NF-PF=MD+ME=2r

tam giác ABH zuông tại H có \(\hept{\begin{cases}R_1=\frac{AH+BH-AB}{2}\\\end{cases}}\)

Tam giác ACH zuông tại H có \(R_2=\frac{AH+CH-AC}{2}\)

tam giác ABC zuông tại A có \(R_3=\frac{AB+AC-BC}{2}\)

\(=>R_1+R_2+R_3=AH\)

ta có \(AH\le AO=\frac{6}{2}=3cm\)

dấu = xảy ra khi H trung O

=> A là điểm chính giữa cung BC 

Nguồn : https://qanda.ai/vi/solutions/npWTTopujG-Cho-n%E1%BB%ADa-%C4%91%C6%B0ong-tr%C3%B2n-t%C3%A2m-O-d%C6%B0%E1%BB%9Dng-k%C3%ADnh-BC6cm-Tr%C3%AAn-n%E1%BB%ADa-%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng-tr%C3%B2n

Vì BE vuông góc với AC tại E (E ϵAC) ⇒ góc BEC =\(90^0\)

Vì CF vuông góc với AB tại F (F ϵ AB) ⇒ góc BFC =\(90^0\)         

xét tứ giác BCEF có ;

góc BEC+BFC=\(90^0+90^0=180^0\)

mà hai góc ở vị trí kề nhau

⇒tứ giác BCEF là tgnt hay A,C,E,F cùng nằm trên một đtròn

b,

a, HS tự chứng minh

b, HS tự chứng minh

c, DAEH vuông nên ta có: KE = KA = 1 2 AH

=> DAKE cân tại K

=>  K A E ^ = K E A ^

DEOC cân  ở O =>  O C E ^ = O E C ^

H là trực tâm => AH  ^ BC

Có  A E K ^ + O E C ^ = H A C ^ + A C O ^ = 90 0

(K tâm ngoại tiếp) => OE ^ KE

d, HS tự làm

a) Xét tứ giác AKIB có

\(\widehat{AKB}=\widehat{AIB}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{AKB}\) và \(\widehat{AIB}\) là hai góc cùng nhìn cạnh AB

Do đó: AKIB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

a)   Trong tam giác ABC cóE là giao điểm 2 phân giác trong góc B và C nên  AE là phân giác góc BAC

Khi đó AE và AD đều là phân giác trong của góc BAC

=> 3 điểm A,E,D thẳng hàng

b)   Có:       ACB+BCx   =180

           => 1/2 ACB  +1/2  BCx =90

           =>  DCB  +   BCE  =90

           =>  DCE                =90

Tương tự  : DBE    =90

Trong tứ giác  BECD   CÓ   DBE +DCE  =90+90=180 

=> TỨ giác BECD nội tiếp

c) theo câu b thì tứ giác BECD nội tiếp nên

  DCB =DEB ( 2 góc nội tiêp cung chắn cung BD)

Xét tam giác DIC và tam giác BIE có :

    DCB=DEB (cmt)

   DIC= BIE ( 2 góc đối đỉnh)

=> tam giác DIC đồng dạng với tam giác BIE

=>\(\frac{BI}{ID}\)=\(\frac{IE}{IC}\)

 => BI *IC= ID*IE

mình ghi lại câu a nhé

Vì E là giao điểm của 2 đường phân giác trong của góc B,C nên E cũng thuộc đường phân giac của góc A 

=> AE là  phân giác góc A

Vì D  là giao điểm của 2 đường phân giác các góc ngoài của góc B,C nên ta có D cách đều 2 cạnh AB,AC

=> D thuộc đường phân giác góc A

=>AE,AD nhau

=> A,E,D thẳng hàng

a: Xét ΔABC có AD/AB=AE/AC

nên DE//BC và DE=BC/2

=>DE//BF và DE=BF

=>BDEF là hình bình hành

b: Xét ΔBAC có BD/BA=BF/BC

nên DF//AC và DF=AC/2

=>DF=EK

Xét tứ giác DEFK cos

DE//FK

DF=EK

Do đó: DEFK là hình thang cân