Ta có:
\(222^{777}=111^{777}\cdot2^{777}\)            \(\left(1\right)\)
\(777^{222}=111^{222}.7^{222}\)              \(\left(2\right)\)
Ta lại có:
\(2^{777}=\left(2^7\right)^{111}=128^{111}\)         \(\left(3\right)\)
\(7^{222}=\left(7^2\right)^{111}=49^{111}\)           \(\left(4\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) và \(\left(4\right)\)
\(\Rightarrow222^{777}>777^{222}\)

222^777 = (2 . 111) ^777 = 2^777 . 111^777 
= (2^7)^111 . (111^7)^111 

777^222. = (7 . 111)^222 = 7^222 . 111^222 
= (7^2)^111 . (111^2)^111 

So sánh ta thấy: 

2^7 > 7^2 
111^7 > 111^2 

==> (2^7)^111 . (111^7)^111 > (7^2)^111 . (111^2)^111 
==> 222^777 > 777^222 

Ta có : 222^777=(2.111)^7.111=128^111.(111^7)^111

            777^222=(7.111)^2.111=49^111.(111^2)^111

Vì 128^111>49^111

     (111^7)^111>(111^2)^111

=>222^777>777^222

222^{777  >} 777²²²

Ta có 222⁷⁷⁷=2⁷⁷⁷.111⁷⁷⁷=(2⁷)¹¹¹.111⁷⁷⁷=128¹¹¹.111⁷⁷⁷

          777²²²=7²²².111²²²=(7²)¹¹¹.111⁷⁷⁷=79¹¹¹.111²²²

VÌ 128¹¹¹.111⁷⁷⁷>79¹¹¹.111²²² 

nên 222⁷⁷⁷>777²²²

^{CHÚC BẠN HỌC TỐT !!!!!!}

Ta có: \(222^{777}=2^{777}.111^{777}=\left(2^7\right)^{111}.111^{777}=128^{111}.111^{777}\)

\(777^{222}=7^{222}.111^{222}=\left(7^2\right)^{111}.111^{222}=49^{111}.111^{222}\)

\(\Rightarrow222^{777}\)lớn hơn \(777^{222}\)

222⁷⁷⁷>777²²²

222⁷⁷⁷ > 777²²²

Lời giải:

$\frac{555^{777}}{777^{555}}=\frac{111^{777}.5^{777}}{111^{555}.7^{555}}$

$=111^{222}.(\frac{5^7}{7^5})^{111}$

$=111^{222}.(\frac{78125}{16807})^{111}>1$

$\Rightarrow 555^{777}> 777^{555}$