Đẳng thức đã cho tương đương với 

\(x^2+2xy+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=2+2xy.\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2-2\left(xy+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right).\frac{xy+1}{x+y}+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x+y-\frac{xy+1}{x+y}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=xy+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{1+xy}=|x+y|\)

Vì x,y là số hữu tỉ nên Vế phải của đẳng thức là số hữu tỉ => Điều phải chứng minh

Bạn vào trang này nha ( https://olm.vn/hoi-dap/question/898864.html ). Mình giải rồi đấy. Nhớ k mình nha

\(x^3+y^3=2x^2y^2\)

<=>   \(\left(x^3+y^3\right)^2=4x^4y^4\)

<=>  \(\left(x^3-y^3\right)^2=4x^4y^4-4x^3y^3\)

<=>  \(\left(x^3-y^3\right)^2=4x^4y^4\left(1-\frac{1}{xy}\right)\)

<=>  \(1-\frac{1}{xy}=\frac{\left(x^3-y^3\right)^2}{4x^4y^4}\)

<=>  \(\sqrt{1-\frac{1}{xy}}=\frac{\left|x^3-y^3\right|}{2x^2y^2}\) là số hữu tỉ

\(x^3-y^3=2xy\)

\(\Leftrightarrow x^4-xy^3-2x^2y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-y\right)^2-y^2-xy^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-y\right)^2=y^2\left(1+xy\right)\)

\(\Leftrightarrow1+xy=\left(\frac{x^2-y}{y}\right)^2\)

Ta có đpcm. 

ta có 

\(\frac{1-2x}{1-x}+\frac{1-2y}{1-y}=1\Leftrightarrow\left(1-2x\right)\left(1-y\right)+\left(1-2y\right)\left(1-x\right)=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\)

\(\Leftrightarrow1-2\left(x+y\right)+3xy=0\)

Vậy \(M=x^2+y^2-xy+\left(1-2\left(x+y\right)+3xy\right)=\left(x+y+1\right)^2\)

vậy ta có đpcm

Ta chứng minh \(t=\sqrt{m}=\sqrt{1-\frac{1}{xy}}\) là số hữu tỉ.

Ta có \(t=\sqrt{1-\frac{1}{xy}}=\frac{\sqrt{xy-1}}{\sqrt{xy}}=\frac{\sqrt{xy-1}.\sqrt{xy}.x^2y^2}{\sqrt{xy}.\sqrt{xy}.x^2y^2}\)

\(=\frac{\sqrt{x^6y^6-x^5y^5}}{x^3y^3}=\frac{\sqrt{\left(x^3y^3\right)^2-x^5y^5}}{x^3y^3}\)

Lại có: \(x^5+y^5=2x^3y^3\Rightarrow x^3y^3=\frac{x^5+y^5}{2}\)

Vậy nên \(t=\frac{\sqrt{\left(\frac{x^5+y^5}{2}\right)^2-x^5y^5}}{x^3y^3}=\frac{\sqrt{\left(\frac{x^5-y^5}{2}\right)^2}}{x^3y^3}=\frac{\left|x^5-y^5\right|}{2x^3y^3}=\frac{\left|x^5-y^5\right|}{x^5+y^5}\)

Do x, y hữu tỉ nên \(\frac{\left|x^5-y^5\right|}{x^5+y^5}\in Q\)

Vậy m là bình phương một số hữu tỉ (đpcm).

\(\frac{1-2x}{1-x}=1\)

\(\Leftrightarrow1-x=1-2x\)

\(\Leftrightarrow-x+2x=1-1\)

\(\Leftrightarrow x=0\)

Tương tự ta cũng có \(y=0\)

Khi đó : \(x^2+y^2-xy=0^2+0^2-0\cdot0=0=0^2\left(đpcm\right)\)

Sai đề ạ:

\(\frac{1-2x}{1-x}+\frac{1-2y}{1-y}=1\)