\(\dfrac{a^3}{b}+ab+\dfrac{b^3}{c}+bc+\dfrac{c^3}{a}+ca\ge2\sqrt{\dfrac{a^4b}{b}}+2\sqrt{\dfrac{b^4c}{c}}+2\sqrt{\dfrac{c^4a}{a}}=2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)

áp dụng AM GM ta có a^3/b+ab>=2a^2

chứng minh tương tự => a^3/b+b^3/c+c^3/a>=2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)

mà ta có a^2+b^2+c^2>=(ab+bc+ca)

=>a^3/b+b^3/c+c^3/a>= ab+bc+ca

"=" xảy ra khi a=b=c

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}=9\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1/3

Áp dụng hệ quả bất đẳng thức Cô - si , ta có :
\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\cdot1\ge9\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)

Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz dạng Engel ta được:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{(1+1+1)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{1}\)

\(\to \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge 9\)

\(\to\) Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\)

\(\to a=b=c\)

Đặt a/b = b/c=k

=> a=bk;b=ck                                                                           (1)

Từ (1) =>  a/a-b= bk/bk-b=bk/b(k-1)=k/k-1                                 (2)

Từ (1) => c/c-d= dk/dk-d=dk/d(k-1) = k/k-1                                    (3)

Từ (2) và (3)=> a/a-b = c/c-d

Cho mình 5 sao nha

đặt biể thức cần chứng minh là P

\(\dfrac{a}{\left(b+c\right)^2}=\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)^2}=\dfrac{\dfrac{a^2}{\left(b+c\right)^2}}{\dfrac{a\left(b+c\right)^2}{\left(b+c\right)^2}}=\dfrac{\left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2}{a}\)

\(t\)ương tự

\(=>P\ge\dfrac{\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)^2}{a+b+c}\)

\(=>P\ge\dfrac{[\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ba}+\dfrac{c^2}{ca+cb}]^2}{a+b+c}\)

\(=>P\ge\dfrac{[\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}]^2}{a+b+c}=\dfrac{[\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}]^2}{a+b+c}\)

\(=>P\ge\dfrac{\dfrac{9}{4}}{a+b+c}=\dfrac{9}{4\left(a+b+c\right)}\) dấu"=" xảy ra<=>a=b=c

\(M=a\left(a+b\right)\left(a+c\right)=a\left(a^2+ac+ba+bc\right)\)

\(=a^3+a^2c+a^2b+abc=a^2\left(a+b+c\right)+abc\)

\(=a^20+abc=abc\) (1)

\(N=b\left(b+c\right)\left(b+a\right)=b\left(b^2+ba+cb+ca\right)\)

\(=b^3+b^2a+b^2c+abc=b^2\left(a+b+c\right)+abc\)

\(=b^20+abc=abc\) (2)

\(P=c\left(c+a\right)\left(c+b\right)=c\left(c^2+cb+ac+ab\right)\)

\(=c^3+c^2b+c^2a+abc=c^2\left(a+b+c\right)+abc\)

\(c^20+abc=abc\) (3)

từ (1);(2)và(3) ta có : \(M=N=P=abc\)

vậy khi \(\left(a+b+c\right)=0\)thì \(M=N=P\) (đpcm)

Chúc bạn học tốt !!!

\(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{cases}}\)

\(M=a\left(a+b\right)\left(a+c\right)=a.\left(-c\right).\left(-b\right)=abc\)

\(N=b\left(b+c\right)\left(a+b\right)=b.\left(-a\right).\left(-c\right)=abc\)

\(P=c\left(b+c\right)\left(a+c\right)=c.\left(-a\right).\left(-b\right)=abc\)

\(\Rightarrow\)\(M=N=P\)

a + b + c = 0 \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}M=a.\left(-c\right).\left(-b\right)=abc\\N=b.\left(-a\right).\left(-c\right)=abc\\P=c.\left(-b\right).\left(-a\right)=abc\end{cases}\Rightarrow M=N=P}\)

Ta có : a+b+c=0

Suy ra :a+b=-c ; a+c=-b và b+c=-a

Nên : M=a(a+b)(a+c)

            =a.(-c).(-b)=abc            (1)

         N=b(b+c)(b+a)

         =b.(-a).(-c)=abc           (2)

Và   : P=c(c+a)(c+b)

            =c.(-b).(-a)=abc                 (3)

Từ (1)(2) và (3) suy ra : Đpcm

hơn 6.000.000 tại 70 quốc gia bao gồm cả Việt Nam. Kỳ thi ra đời nhằm nhân rộng niềm vui học Toán theo hướng phát triể

Ta có: a+b+c=0

=>a+b=0-c

    a+c=0-b

    b+a=0-c

    b+c=0-a

    c+a=0-b

    c+b=0-a

Lại có:

           M=a(a+b)(a+c)=a(0-c)(0-b)=0.a.(0-b)-c.a.(0-b)=0-0.c.a+a.b.c=0-0+abc=abc

            N=b(b+c)(b+a)=b(0-a)(0-c)=0.b.(0-c)-a.b.(0-c)=0-0.a.b+a.b.c=0-0+abc=abc

             P=c(c+a)(c+b)=c(0-b)(0-a)=0.c.(0-a)-b.c.(0-a)=0-0.b.c+a.b.c=0-0+abc=abc

=> M=N=P=abc

Vậy M=N=P