thêm đk : a,b,c > 0

Ta có :

\(\frac{a}{a+b}< 1\)\(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)( 1 )

\(\frac{b}{b+c}< 1\)\(\Rightarrow\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)( 2 )

\(\frac{c}{c+a}< 1\)\(\Rightarrow\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)( 3 )

cộng ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) ta được :

\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)

Vậy M không phải là số nguyên

Có : a/a+b > 0 => a/a+b > a/a+b+c

Tương tự : b/b+c > b/a+b+c ; c/c+a > c/a+b+c

=> M > a+b+c/a+b+c = 1 (1)

Lại có : a < a+b => a/a+b < 1 => 0 < a/a+b < 1 => a/a+b < a+c/a+b+c

Tương tự : b/b+c < b+a/a+b+c ; c/c+a < c+b/a+b+c

=> M < a+c+b+a+c+b/a+b+c = 2 (2)

Từ (1) và (2) => 1 < M < 2

=> M ko phải là số tự nhiên

Tk mk nha

Vì a,b,c là các số dương, nên ta có:

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}\)   (1)

\(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}\)(2)

\(\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}\)(3)

Cộng 2 vế của (1),(2) và (3)

\(\Rightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)

Chứng minh tương tự để:

\(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)

Vậy M không thể là số nguyên

Với a,b,c,d là các số nguyên dương ta luôn có :

\(\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)

Tương tự : \(\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a}< \frac{c+b}{a+b+c+d}\)

\(\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\)

Cộng vế với vế ta được :

\(\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}< S< \frac{2.\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}\rightarrow1< S< 2\)

Do đó , S không là số tự nhiên.

\(\frac{d}{ưưda}ư\)

ban vào link này nhé 

https://olm.vn/hoi-dap/question/109536.html

Gợi ý : CM : a < m < b

Với m , b là 2 số liêm tiếp

nhầm : m,b sai nha là a,b

Nhận xét : 

\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\left(1\right)\)

\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{b+c+a}\left(2\right)\)

\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{c+a+b}\left(3\right)\)

Cộng (1) , (2) với (3) ta được : 

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+b}=1\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>1\)

Nhận xét 2 : 

\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\left(4\right)\)

\(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{b+c+a}\left(5\right)\)

\(\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{c+a+b}\left(6\right)\)

Cộng (4) , (5) với (6) ta được :

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{b+c+a}+\frac{c+b}{c+a+b}=2\)

Vì \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)

=> \(m=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)không phải là số nguyên 

Thay \(a+b+c\) vào \(A\) ta được:

\(A=\frac{a}{2017-c}+\frac{b}{2017-a}+\frac{c}{2017-b}\)

\(=\frac{a}{a+b+c-c}+\frac{b}{a+b+c-a}+\frac{c}{a+b+c-b}\)

\(=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}\)

Ta có:

\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+b}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}\)\(=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

\(\Rightarrow A< 2\left(1\right)\)

Lại có:

\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)

\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)

Cộng vế với vế ta lại được:

\(A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)\(=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(\Rightarrow A>1\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow1< A< 2\)

Vậy \(A\) không phải là số nguyên (Đpcm)

cái này chứng minh 1 < A < 2. mình chỉ bít chứng minh 1 < A thui 

Ta có \(\frac{a}{2017-c}>\frac{a}{2017};\frac{b}{2017-a}>\frac{b}{2017};\frac{c}{2017-b}>\frac{c}{2017}\) 

suy ra \(A>\frac{a}{2017}+\frac{b}{2017}+\frac{c}{2017}=\frac{2017}{2017}=1\)

=> A > 1

Có : P > a/a+b+c + b/a+b+c + c/a+b+c = a+b+c/a+b+c = 1

Lại có : 0 < a/a+b ; b/b+c ; c/c+a < 1

=> P < a+c/a+b+c + b+a/a+b+c + c+b/a+b+c = 2a+2b+2c/a+b+c = 2

=> 1 < P < 2

=> P ko phải là số tự nhiên

Tk mk nha

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\\\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\end{cases}}\) Cộng theo vế suy ra : \(P>1\)

Vì \(a;b;c>0\Leftrightarrow\frac{a}{a+b};\frac{b}{b+c};\frac{c}{c+a}< 1\)

Áp dụng bất đẳng thức : \(\frac{q}{p}< \frac{q+m}{p+m}\left(q< p\right)\) ta có:

\(P< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}=2\)

Ta có \(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)

Tương tự rồi cộng lại =>\(P>1\)

Mà 3-P=\(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\)

Chứng minh tương tự như trên ta cũng có \(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+b}+\frac{a}{c+a}>1\Rightarrow3-P>1\Rightarrow P< 2\)

=> 1<P<2

=> P không là số nguyên 

^^

Xét đề bài , ta thấy :

\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)

\(\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d}\)

\(\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}\)

Vậy ,  \(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>1\)

mặt khác , ta lại có :

\(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)

\(=\left(\frac{a}{d+b+c}+\frac{c}{c+d+a}\right)+\left(\frac{b}{b+c+d}+\frac{d}{d+a+b}\right)\)

Mà \(\frac{a}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}< \frac{a}{a+c}+\frac{c}{c+a}=1\)

\(\frac{b}{b+c+d}+\frac{d}{d+a+c}< \frac{b}{b+d}+\frac{d}{d+b}=1\)

=> \(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)

Vậy . . .