Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
loan cao thị
Xem chi tiết
Đinh Thùy Linh
9 tháng 6 2016 lúc 6:28

a)

\(x^4-y^4=\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right).\)

b) 

\(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=x^3+x^2y+x^2z+xy^2+y^3+y^2z+\)

\(+xz^2+yz^2+z^3-x^2y-xy^2-xyz-xyz-y^2z-yz^2-x^2z-xyz-xz^2=\)

\(=x^3+y^3+z^3-3xyz\)

michelle holder
Xem chi tiết
Neet
12 tháng 3 2017 lúc 23:25

solution:

ta có: \(3=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Leftrightarrow xyz\le1\)(theo BĐT cauchy cho 3 số )

\(\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{z};yz\le\dfrac{1}{x};xz\le\dfrac{1}{y}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\dfrac{x}{\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}}=x\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x^4}\)

tương tự ta có:\(\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}\ge\sqrt[3]{y^4};\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\sqrt[3]{z^4}\)

cả 2 vế các BĐT đều dương,cộng vế với vế:

\(S=\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{z^4}\)

Áp dụng BĐT bunyakovsky ta có:

\(\left(\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{z^4}\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(\sqrt[3]{x^8}+\sqrt[3]{y^8}+\sqrt[3]{z^8}\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)

\(\Rightarrow S\ge x^2+y^2+z^2\)

đến đây ta lại có BĐT quen thuộc: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow S\ge xy+yz+xz\left(đpcm\right)\)

dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z mà x2+y2+z2=3 => x=y=z=1

*cách khác : Áp dụng BĐT cauchy - schwarz(bunyakovsky):

\(S=\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\dfrac{x^4}{x^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}}+\dfrac{y^4}{y^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}}+\dfrac{z^4}{z^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{z}}}\)

\(S\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

Phạm Thanh Huệ
13 tháng 3 2017 lúc 14:02

cho mình hỏi vs ạ..

Khi mình nhập câu hỏi ý,, làm sao để gửi câu hỏi cho m.n xem để giải đk hả bạn,..Chỉ giùm mik vs ạ.

Phạm Hà Chi
Xem chi tiết
alibaba nguyễn
21 tháng 9 2018 lúc 8:51

\(3=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)

\(\Rightarrow xyz\le1\)

\(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\le\frac{x^2+1+1}{3}+\frac{y^2+1+1}{3}+\frac{z^2+1+1}{3}=3\)

Ta co:

\(A=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\frac{x\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{y\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{z\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\ge x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\)

\(\Rightarrow3A\ge3\left(x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\right)\ge\left(x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\right)\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\right)\)

\(\ge\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow A\ge xy+yz+zx\)

Kiệt Nguyễn
25 tháng 5 2020 lúc 19:22

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz, ta có: \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=3=x^2+y^2+z^2\)(Do \(x^2+y^2+z^2=3\))

Ta có: \(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\frac{x}{\sqrt[3]{yz.1}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx.1}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy.1}}\)

\(\ge\frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}+\frac{y}{\frac{z+x+1}{3}}+\frac{z}{\frac{x+y+1}{3}}\)\(=\frac{3x}{y+z+1}+\frac{3y}{z+x+1}+\frac{3z}{x+y+1}\)

\(=\frac{3x^2}{xy+zx+x}+\frac{3y^2}{yz+xy+y}+\frac{3z^2}{zx+yz+z}\)\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)}\)(Theo BĐT Cauchy - Schwarz dạng Engle)

\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+x^2+y^2+z^2}=\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=3=x^2+y^2+z^2\)

\(\ge xy+yz+zx\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Khách vãng lai đã xóa
Tran Le Khanh Linh
25 tháng 5 2020 lúc 20:42

\(\sqrt[3]{yz\cdot1}\le\frac{y+z+1}{3};\sqrt[3]{xz\cdot1}\le\frac{x+z+1}{3};\sqrt[3]{yx\cdot1}\le\frac{y+x+1}{3}\)

Nên \(A=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{x+z+1}+\frac{z}{y+x+1}\right)\)\(=3\left(\frac{x^2}{xy+yz+x}+\frac{y^2}{xy+yz+y}+\frac{z^2}{yz+xz+z}\right)=B\)

\(B\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+x+y+z}\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+x^2+y^2+z^2}=\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=3\ge xy+yz+zx\)

do \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=9\Rightarrow x+y+z\le3=x^2+y^2+z^2;xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2=3\)

Khách vãng lai đã xóa
HUY hoàng nguyễn
Xem chi tiết
HUY hoàng nguyễn
23 tháng 12 2017 lúc 21:44

cảm ơn

Lê Huỳnh
Xem chi tiết
Lê Huỳnh
Xem chi tiết
Phước Nguyễn
23 tháng 4 2016 lúc 21:15

Bạn ghi sai đề rồi nhé! Nếu ta lần lượt thay số vào các biến  \(x,y,z\) ở vế trái của bất đẳng thức trên (chẳng hạng như  \(\frac{1}{3}\)) kết hợp với chú ý rằng \(x=y=z\)  (sẽ được chứng minh ở các bước sau này), khi đó kết quả sẽ cho ra khác, tức là  \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) (vô lý!). Đó là lý do mình phải 'viết lại' đề cộng với một chút chỉnh sửa hợp lý về phương diện toán học. Hmmm, vất vả vật lộn với bài này quá nya. \(3\)  \(s\) đi!

Đề: Cho ba số thực dương  \(x,y,z\)  thỏa mãn  \(x+y+z=1\)  

Chứng minh rằng: \(\sqrt{\frac{xy}{z+xy}}+\sqrt{\frac{yz}{x+yz}}+\sqrt{\frac{xz}{y+yz}}\le\frac{3}{2}\)  \(\left(\text{*}\right)\)

Lời giải:

Từ giả thiết đã cho ở trên, ta dễ dàng chứng minh được  \(1>x,y,z>0\)  với mọi  \(x,y,z\in R^+\)

\(\Rightarrow\)  \(1-x>0;\)  \(1-y>0;\)  \(1-z>0\)  

Khi đó, áp dụng bất đẳng thức  \(AM-GM\)  cho hai số không âm với chú ý rằng  \(x+y+z=1\)  (theo giả thiết), ta có: 

\(\sqrt{\frac{xy}{z+xy}}=\sqrt{\frac{xy}{1-x-y+xy}}=\sqrt{\frac{xy}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{1-y}+\frac{y}{1-x}\right)\)  \(\left(1\right)\)

Hoàn toàn tương tự với vòng hoán vị  \(y\)  \(\rightarrow\)  \(z\)  \(\rightarrow\)  \(x\), ta chứng minh được:

\(\sqrt{\frac{yz}{x+yz}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{1-z}+\frac{z}{1-y}\right)\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\sqrt{\frac{xz}{y+xz}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{z}{1-x}+\frac{x}{1-z}\right)\)  \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế các bất đẳng thức \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right);\)  và  \(\left(3\right),\)  ta được:

\(VT\left(\text{*}\right)\le\frac{1}{2}\left[\left(\frac{y}{1-x}+\frac{z}{1-x}\right)+\left(\frac{x}{1-y}+\frac{z}{1-y}\right)+\left(\frac{x}{1-z}+\frac{y}{1-z}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(1+1+1\right)=\frac{3}{2}=VP\left(\text{*}\right)\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Trần Anh
23 tháng 4 2016 lúc 20:31

ở mẫu phải là dấu cộng mới đúng chứ bạn

Lê Thanh Nhàn
Xem chi tiết
Lê Thanh Nhàn
13 tháng 6 2020 lúc 23:26

@Nguyễn Việt Lâm

Nguyễn Việt Lâm
13 tháng 6 2020 lúc 23:44

Bunhiacopxki: \(\left(x^2+yz+zx\right)\left(y^2+yz+zx\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{xy}{x^2+yz+zx}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)

Thiết lập tương tự và cộng lại:

\(\Rightarrow VT\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)+yz\left(z^2+xy+zx\right)+zx\left(x^2+yz+xy\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)

\(VT\le\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)

Ta chỉ cần chứng minh: \(\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)

\(\Leftrightarrow xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le x^3y+y^3z+z^3x\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge x+y+z\) (đúng theo Cauchy-Schwarz)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

Lê Thanh Nhàn
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
13 tháng 6 2020 lúc 17:19

BĐT của bạn bị ngược dấu, mà có vẻ các mẫu số cũng ko đúng (để ý mẫu số thứ 2 và thứ 3 đều có chung xy+xz ko hợp lý)

Arceus Official
Xem chi tiết
Thắng Nguyễn
7 tháng 3 2018 lúc 18:27

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(VT=\sqrt{\frac{xy}{z+xy}}+\sqrt{\frac{xz}{y+xz}}+\sqrt{\frac{yz}{x+yz}}\)

\(=\sqrt{\frac{xy}{z\left(x+y+z\right)+xy}}+\sqrt{\frac{xz}{y\left(x+y+z\right)+xz}}+\sqrt{\frac{yz}{x\left(x+y+z\right)+yz}}\)

\(=\sqrt{\frac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}+\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x+z}{x+z}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{x+y}{x+y}\right)=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" <=> \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Ủng hộ và kb với mình ha ^^

hoài phan
6 tháng 3 2018 lúc 23:12
Từ gt suy ra z=1-x-y Thầy vào sau đó áp dụng AM-GM