DMA = MAN = AND = 90⁰

=> AMDN là hình chữ nhật

=> AD = MN

I là trung điểm của MN và AD

=> HI là đường trung tuyến của tam giác HAD vuông tại H

=> HI = AD/2

mà AD = MN (chứng minh trên)

=> HI = MN/2

mà HI là đường trung tuyến của tam giác HMN (I là trung điểm của MN)

=> Tam giác HMN vuông tại H

=> MHN = 90⁰

Kẻ IK _I_ HD

mà AH _I_ HD

=> IK // AH

mà I là trung điểm của AD (chứng minh trên)

=> K là trung điểm của HD

=> IK là đường trung bình của tam giác DAH

=> IK = AH/2

Điểm I cách đoạn thẳng BC 1 khoảng cố định bằng 1 nửa AH không đổi

=> Điểm I di chuyển trên đường thẳng song song với BC và cách BC 1 khoảng bằng nửa AH

Chúc bạn học tốt *(^o^)*

Tự vẽ hình nha, vẽ trên máy lâu lắm

a)Cm AMDN là HCN(3 góc vuông)

=>AD=MN(t/c hcn)

Ta thấy A gồm có 99 số hạng nên ta nhóm mỗi nhóm 3 số hạng.

Ta có: A = 1 + 5 + 5² + 5³ + 5⁴ + 5⁵ +...+ 5⁹⁷ + 5⁹⁸ + 5⁹⁹

             = (1 + 5 + 5² )+ (5³ + 5⁴ + 5⁵ )+...+( 5⁹⁷ + 5⁹⁸ + 5⁹⁹ )

             =(1 + 5 + 5² )+ 5³(1 + 5 + 5² ) +...+ 5⁹⁷(1 + 5 + 5² )

             = ( 1 + 5 + 5²)(1 + 5³+....+5⁹⁷)

             = 31(1 + 5³+....+5⁹⁷)

Vì có một thừa số là 31 nên A chia hết cho 31.

 P/s Đừng để ý câu trả lời của mình

Bn ơi D hình như là trung điểm của BC thì mới làm được câu b

a) xét tứ giác AMDN có 
MAN = 90độ (ABC vuông tại A)
DMA = 90độ (DM vuông góc AB,M thuộc AB)
DNA = 90độ (DN vuông góc AC,N thuộc AC)
⇒Tứ giác AMDN là hình chữ nhật (T/c)
⇒AD=MN(T/c hình chữ nhật)(đpcm)

a: Xét tứ giác AMDN có

\(\widehat{AMD}=\widehat{AND}=\widehat{MAN}=90^0\)

=>AMDN là hình chữ nhật

=>AD=MN

b: Gọi O là giao điểm của AD và MN

Vì AMDN là hình chữ nhật

nên AD cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AD và MN

Ta có: AD=MN

\(OA=OD=\dfrac{AD}{2}\)

\(OM=ON=\dfrac{MN}{2}\)

Do đó: OA=OD=OM=ON=AD/2=MN/2

Ta có: ΔHAD vuông tại H

mà HO là đường trung tuyến

nên \(HO=\dfrac{AD}{2}\)

mà AD=MN

nên \(HO=\dfrac{MN}{2}\)

Xét ΔNMH có

HO là đường trung tuyến

\(HO=\dfrac{MN}{2}\)

Do đó: ΔNHM vuông tại H

=>\(\widehat{MHN}=90^0\)

a: Xét tứ giác AMDN có góc AMD=góc AND=góc MAN=90 độ

nên AMDN là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác NKIM có

D là trung điểm của NI

D là trung điểm của KM

Do đó: NKIM là hình bình hành

mà NI vuông góc với KM

nên NKIM là hình thoi

c: Xét ΔABC có DN//AB

nên DN/AB=CN/CA=CD/CB

=>CN=1/2CA
hay N là trung điểm của AC

Xét ΔABC có DM//AC
nên BM/BA=BD/BC=1/2

hay BM=1/2BA
=>M là trung điểm của AB

Ta có: ΔAHB vuông tại H 

mà HM là đường trung tuyến

nên MA=MH

Ta có: ΔAHC vuông tại H

mà HN là đừog trung tuyến

nên HN=AN

Xét ΔMAN và ΔMHN có

MA=MH

AN=HN

MN chung

Do đó: ΔMAN=ΔMHN

Suy ra:góc MHN=90 độ

a: Xét tứ giác AMDN có

góc AMD=góc AND=góc MAN=90 độ

=>AMDN là hình chữ nhật

b: góc AHD=góc AMD=góc AND

=>A,H,D,M,N cùng nằm trên đường tròn đường kính AD

=>A,H,D,M,N cùng nằm trên đường tròn đường kính NM

=>góc NHM=90 độ

a: Xét tứ giác AMDN có

\(\widehat{AMD}=\widehat{AND}=\widehat{MAN}=90^0\)

Do đó: AMDN là hình chữ nhật

Suy ra: AD=MN

Tứ giác ADHE là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD=EH\\AE=DH\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\dfrac{S_{ABC}}{S_{ADE}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB.AC}{\dfrac{1}{2}.AD.AE}=\dfrac{AB.AC}{AD.AE}=\dfrac{AB.AC}{DH.EH}=\left(\dfrac{AB}{EH}\right).\left(\dfrac{AC}{DH}\right)\)

Mà \(DH||AC\) (cùng vuông góc AB) \(\Rightarrow\dfrac{AC}{DH}=\dfrac{BC}{BH}\) (Talet)

Tương tự: \(\dfrac{AB}{EH}=\dfrac{BC}{CH}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{ABC}}{S_{ADE}}=\left(\dfrac{BC}{BH}\right)\left(\dfrac{BC}{CH}\right)=\dfrac{BC^2}{BH.CH}\ge\dfrac{BC^2}{\dfrac{1}{4}\left(BH+CH\right)^2}=\dfrac{4BC^2}{BC^2}=4\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(BH=CH\) hay tam giác ABC vuông cân tại A