Cho biết a+b+c=2p
CMR :\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p}=\frac{abc}{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)
Cho biết a+b+c =2p
CMR \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}-\frac{1}{p}=\frac{abc}{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)c)
Cho biết a + b + c = 2p
CMR: \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}-\frac{1}{p}=\frac{abc}{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)
nhìn mẫu vế phải thì có vẻ chỉ cần quy đồng vế trái là ra!!
Cho biết a+b+c=2p
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}-\frac{1}{p}=\frac{abc}{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)
\(a+b+c=2p\Rightarrow p=\frac{a+b+c}{2}\)
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}-\frac{1}{p}=\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-a}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-b}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}-c}-\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}}\)
\(=\frac{1}{\frac{b+c-a}{2}}+\frac{1}{\frac{a+c-b}{2}}+\frac{1}{\frac{a+b-c}{2}}-\frac{1}{\frac{a+b+c}{2}}\)
\(=\frac{2}{b+c-a}+\frac{2}{a+c-b}+\frac{2}{a+b-c}-\frac{2}{a+b+c}\)
Nguyễn Lê Nhật Linh
Trả lời
1
Đánh dấu
02/10/2016 lúc 11:11
1Cho biết a+b+c=2p CMR: \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p}=\frac{abc}{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)
2 Cho ba số phân biệt a,b,c . Chứng minh rằng biểu thức
A=a4(b-c)+b4(c-a)+c4(a-b) luôn khác 0
2,
A=a4(b-c)+b4(c-a)+c4(a-b)
=a4(b-c)+b4[c-b)-(a-b)]+c4(a-b)
=a4(b-c)-b4(b-c)+c4(a-b)-b4(a-b)
=(a4-b4)(b-c)+(c4-b4)(a-b)
=(a-b)(b-c)(a+b)(a2+b2)-(a-b)(b-c)(b+c)(b2+c2)
=(a-b)(b-c)(a3+b3+a2b+ab2-b3-c3-b2c-bc2)
=(a-b)(b-c)(a2c+b2c+c3+abc+bc2+c2a-a3-ab2-ac2-a2b-abc-a2c)
=(a-b)(b-c)(c-a)(a2+b2+c2+ab+bc+ca)
=1/2(a-b)(b-c)(c-a)(2a2+2b2+2c2+2ab+2bc+2ca)
=1/2(a-b)(b-c)(c-a)[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2] khác 0
Theo mình 4 dòng cuối bài giải của Nguyễn Thiều Công Thành phải có dấu "-" (âm) ở trước biểu thức
Bài 11:
Tính \(\frac{\left(1986^2-1992\right)\left(1986^2+3972-3\right).1987}{1983.1985.1988.1989}\)
Bài 12: Đặt \(a+b+c=2p\). CMR:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}-\frac{1}{p}=\frac{abc}{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)
Bài 11 : ta có :
\(\frac{\left(1986^2-1992\right)\left(1986^2+3972-3\right)1987}{1983.1985.1988.1989}\)
\(=\frac{\left(1986^2-3.1986+2.1986-6\right)\left(1986^2+2.1986+1-4\right)1987}{1983.1985.1988.1989}\)
\(=\frac{\left(1986-3\right)\left(1986+2\right)\left[\left(1986+1\right)^2-2^2\right]1987}{1983.1985.1988.1989}\)
\(=\frac{1983.1988\left(1987-2\right)\left(1987+2\right)1987}{1983.1988.1985.1989}\)
\(=\frac{1983.1985.1988.1989.1987}{1983.1985.1988.1989}=1987\)
Cho a,b,c dương và abc=1
CMR: \(\frac{a^4}{2\left(b+c\right)^2}+\frac{b^4}{2\left(a+c\right)^2}+\frac{c^4}{2\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{c^2\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{1}{b^2\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{1}{a^2\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{8}\)
Cho a,b,c dương thõa mãn abc=1
CMR \(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Ta có:
\(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{a\left(a+1\right)}{8}+\frac{a\left(b+1\right)}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3\left(a+1\right)\left(b+1\right)}{64\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}=\frac{3a}{4}\)
\(\Rightarrow LHS+\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+2\left(a+b+c\right)}{8}\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8}\)
\(\ge\frac{a+b+c}{2}-\frac{a^2+b^2+c^2}{4}\)
Có ý tưởng đến đây thôi nhưng lại bị ngược dấu rồi :(
BĐT <=> \(\frac{a\left(c+1\right)+b\left(a+1\right)+c\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)
<=> \(\frac{ab+bc+ac+a+b+c}{abc+1+ab+bc+ac+a+c+b}\ge\frac{3}{4}\)
<=> \(4\left(ab+bc+ac+a+b+c\right)\ge3\left(ab+bc+ac+a+b+c+2\right)\)
<=> \(ab+bc+ac+a+b+c\ge6\)(1)
(1) luôn đúng do \(ab+bc+ac\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3;a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)
=> BĐT được CM
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cho a,b,c dương thõa mãn abc=1
CMR \(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Biến đổi tương đương ta có :
\(\frac{a}{\left(a+1\right).\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(b+1\right).\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(c+1\right).\left(a+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow4.a.\left(c+1\right)+4.b.\left(a+1\right)+4.c.\left(b+1\right)\ge3.\left(a+1\right).\left(b+1\right).\left(c+1\right)\)
\(\Leftrightarrow4.\left(a+b+c\right)+4.\left(ab+bc+ac\right)\ge3.a.b.c+3.\left(a+b+c\right)+3.\left(ab+bc+ca\right)+3\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+ab+bc+ca\ge6\)
Sử dụng thêm bất đẳng thức Cauchy 3 số ta có :
a+b+c \(\ge\)3.\(\sqrt[3]{abc}\)và ab + bc + ca \(\ge3.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\)
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= b= c =1
Mình áp dụng BĐT AM-GM đến dòng
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b\ge6\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương ta được
\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[2]{\left(abc\right)^2}=3;a+b+c\ge3\sqrt[2]{abc}=3\)
Cộng từng vế BĐT ta được (1). Do vậy BĐT ban đầu được chứng minh
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
Cho a,b,c dương thõa mãn abc=1
CMR \(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Biến đối tương đương ta có:
\(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow4a\left(c+1\right)+4b\left(a+1\right)+4c\left(b+1\right)\ge3\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)
\(\Leftrightarrow4\left(a+b+c\right)+4\left(ab+bc+ca\right)\ge3abc+3\left(a+b+c\right)+3\left(ab+bc+ca\right)+3\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+ab+bc+ca\ge6\)
Sử dụng thêm BĐT Cauchy 3 số ta có:
\(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\\ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\end{cases}}\)
Vậy BĐT đã được chứng minh. Dấu "=" <=> a=b=c=1