Sửa đề: M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>BM\(\perp\)AQ tại M

Xét (O) có

ΔBNA nội tiếp

BA là đường kính

Do đó: ΔBNA vuông tại N

=>BN\(\perp\)AP

Xét ΔABQ vuông tại B có BM là đường cao

nên \(AM\cdot AQ=AB^2\left(1\right)\)

Xét ΔABP vuông tại B có BN là đường cao

nên \(AN\cdot AP=AB^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AQ=AN\cdot AP\)

=>\(\dfrac{AM}{AP}=\dfrac{AN}{AQ}\)

Xét ΔAMN và ΔAPQ có

\(\dfrac{AM}{AP}=\dfrac{AN}{AQ}\)

\(\widehat{MAN}\) chung

Do đó: ΔAMN đồng dạng với ΔAPQ

=>\(\widehat{AMN}=\widehat{APQ}\)

mà \(\widehat{AMN}+\widehat{QMN}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{QMN}+\widehat{QPN}=180^0\)

=>MNPQ là tứ giác nội tiếp

=>M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn

a, Dễ thấy  A M B ^ = 90 0 hay E M F ^ = 90 0  tiếp tuyến CM,CA

=> OC ⊥ AM =>  O E M ^ = 90 0 Tương tự =>  O F M ^ = 90 0

Chứng minh được ∆CAO = ∆CMO =>  A O C ^ = M O C ^

=> OC là tia phân giác của A M O ^

Tương tự OD là tia phân giác của  B O M ^  suy ra OC ⊥ OD <=>  C O D ^

b, Do ∆AOM cân tại O nên OE là đường phân giác đồng thời là đường cao

=>  O E M ^ = 90 0  chứng minh tương tự  O F M ^ = 90 0

Vậy MEOF là hình chữ nhật

c, Gọi I là trung điểm CD thì I là tâm đường tròn đường kính CD và IO=IC=ID. Có ABDC là hình thang vuông tại A và B nên IO//AC//BD và IO vuông góc với AB. Do đó AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

a) góc MAN nội tiếp chắn nửa (O) => góc MAN = 90⁰ hay góc CAD = 90⁰

tam giác CAD vuông tại A có đường cao AB => AM.AC = AB² = 4R² không đổi

b) Tam giác OAN có OA = ON = R nên cân tại O => góc OAN = góc ONA hay góc BAD = góc MNA

mà góc BAD = góc ACD (cùng phụ góc BAC) => góc MNA = góc ACD => tứ giác CMND nội tiếp

c) tam giác ACD vuông tại A có AI là trung tuyến => IA = ID = 1/2 CD => tam giác IAD cân tại I => góc IAD = góc IDA

mà góc IDA = góc AMN( tứ giác CMND nội tiếp) => góc IAD = góc AMN mà góc AMD phụ góc MNA => góc IAD phụ góc MNA 

=> góc AHN = 90⁰ hay góc AHO = 90⁰ , mà OA = R không đổi => H nằm trên đường tròn đường kính AO

a﴿ góc MAN nội tiếp chắn nửa ﴾O﴿ => góc MAN = 90o hay góc CAD = 90o

tam giác CAD vuông tại A có đường cao AB => AM.AC = AB 2 = 4R 2 không đổi

b﴿ Tam giác OAN có OA = ON = R nên cân tại O => góc OAN = góc ONA hay góc BAD = góc MNA

mà góc BAD = góc ACD ﴾cùng phụ góc BAC﴿ => góc MNA = góc ACD => tứ giác CMND nội tiếp

c﴿ tam giác ACD vuông tại A có AI là trung tuyến => IA = ID = 1/2 CD => tam giác IAD cân tại I => góc IAD = góc IDA

mà góc IDA = góc AMN﴾ tứ giác CMND nội tiếp﴿

=> góc IAD = góc AMN mà góc AMD phụ góc MNA => góc IAD phụ góc MNA

=> góc AHN = 90 0 hay góc AHO = 90 0 , mà OA = R không đổi => H nằm trên đường tròn đường kính AO 

 Bài này cũng khó à nha ;)

a) ta có Góc ANB = 90° ( góc nội tiếp chắn nua đường tròn)

Và góc AMB = 90°        (___________________________________)

Tương tự góc MAN = 90 (__________________________________)

=> Tứ giác AMBN là hình chữ nhật

B) Ta có Góc NAB = góc PBN ( cùng chắn cũng BN)

Mà Góc PBN + góc BPN = 90°

=> Góc NMB + Góc BPN = 90°

Tứ giác MNPQ có

Góc QMN+ góc BPN 

= Góc QMB + góc NMB + Góc BPN

= 90 +90= 180°

=> Tứ giác MNPQ nội tiếp 

Hãy M,N,P,Q  cùng thuộc một đường tròn

C)  ko bt làm 

D) MN vuông góc AB nha do vộ quá nên ko viết đc bạn cứ kẻ đường cao rồi chứng minh

Cho bạn 1 tim ne2k! Cám ơn nhiều

1) Xét (O) có:

Góc AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (AB là đường kính)

=> góc AMB = 90 độ (hệ quả)

Góc MBN là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (MN là đường kính)

=> góc MBN = 90 độ (hệ quả)

Góc ANB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (AB là đường kính)

=> góc ANB = 90 độ (hệ quả)

Xét từ giác tứ giác AMBN có:

Góc AMB = 90° (chứng minh trên),

Góc MBN = 90° (chứng minh trên),

Góc ANB = 90° (chứng minh trên)

=> Tứ giác AMBN là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

2) Vì góc MBN = 90° nên góc BMQ = 90°

Xét ΔBMQ có: góc BMQ = 90°

=> +  = 90°

 Mà  +  = 90° (Vì PQ ⊥ AB)

=> Góc ABM = góc MQB

Mà: góc ABM = gócANM (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM của (O))

=> Góc MQB = góc ANM

Lại có:  +  =180° (Hai góc kề bù)

=>  +  = 180°

=> Tứ giác MNPQ nội tiếp một đường tròn (dhnb)

<=> 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn

3) Xét ΔABQ có: OB = OA = R và EB = EQ (E là trung điểm BQ)

=> OE là đường trung bình của ΔABQ (đường trung bình của A)

=> OE // AQ.

Mà AP ⊥ AQ (Vì góc MAN = 90°)

=> OE // AP mà OA = OB (= R)

=> FB = FP (định lí)

<=> F là trung điểm của BP

ΔNPB vuông tại N có NF là trung tuyến  => NF = FB = FP

Xét ΔONF và ΔOBF có:

OF chung,

NF = FB (chứng minh trên),

ON = OB (=R)

=> ΔONF = ΔOBF (c.c.c)

=> =  (cặp góc tương ứng)

mà góc OFB =  90°  => góc ONF = 90 độ 

<=> NF⊥ MN (1)

Chứng minh tương tự, ta có: góc OME = 90 độ => ME ⊥ MN (2)

Từ (1) và (2) suy ra: NF // ME