Lời giải:

Câu 1)

Ta có: \(mx-3=2m-x-1\)

\(\Leftrightarrow xm-3-2m+x+1=0\)

\(\Leftrightarrow m(x-2)+x-2=0\)

\(\Leftrightarrow (m+1)(x-2)=0\)

Để đẳng thức trên đúng với mọi $m$ thì \(x-2=0\Leftrightarrow x=2\)

Do đó với mọi $m$ thì pt nhận $x=2$ là nghiệm

Câu 2:

Gọi hai số chính phương liên tiếp là \(a^2, (a+1)^2\)

Theo đề bài ta phải cm \(A=a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2 \) là scp lẻ.

Thật vậy:

\(A=a^2+a^2+2a+1+a^2(a^2+2a+1)\)

\(A=a^4+2a^3+3a^2+2a+1\)

\(A=(a^2)^2+a^2+1+2a^2.a+2a^2.1+2a.1=(a^2+a+1)^2\)

Mà \(a^2+a+1=a(a+1)+1\) lẻ do $a(a+1)$ chẵn.

Do đó $A$ là scp lẻ. Ta có đpcm.

a, \(\Delta=m^2-4\left(-4\right)=m^2+16\)> 0 

Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb 

b, Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-4\end{matrix}\right.\)

Ta có \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5\)

Thay vào ta được \(m^2-2\left(-4\right)=5\Leftrightarrow m^2+3=0\left(voli\right)\)

Gọi 2 số chính phương liên tiếp đó là \(n^2,\left(n+1\right)^2\). Ta có:

\(P=n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2\)

\(=n^2+n^2+2n+1+n^2\left(n^2+2n+1\right)\)

\(=n^4+2n^3+3n^2+2n+1\)

Ta có \(\dfrac{P}{n^2}=n^2+2n+3+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\)

\(=\left(n+\dfrac{1}{n}\right)^2+2\left(n+\dfrac{1}{n}\right)+1\)

\(=\left(n+\dfrac{1}{n}+1\right)^2\)

\(\Rightarrow P=\left[n\left(n+\dfrac{1}{n}+1\right)\right]^2=\left(n^2+n+1\right)^2=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)

 Dễ dàng kiểm chứng được \(2|n\left(n+1\right)\), do đó \(n\left(n+1\right)+1\) là số lẻ, suy ra đpcm.

Hai số chính phương liên tiếp là \(n^2;\left(n+1\right)^2\)

Theo đề ta có :

\(n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2\)

\(=n^2+n^2+2n+1+n^4+2n^3+n^2\)

\(=\left(n^4+n^3+n^2\right)+\left(n^3+n^2+n\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left(n^2+n+1\right)+n\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left(n^2+n+1\right)+n\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=\left(n^2+n+1\right)^2\)

\(=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)

mà \(n\left(n+1\right)⋮2\) (là 2 số tự nhiên liên tiếp)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)+1\) là số lẻ

\(\Rightarrow\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\) là số chính phương lẻ

\(\Rightarrow dpcm\)

 Gọi hai số chính phương liên tiếp đó là k² và (k+1)²

Ta có:

k²+(k+1)²+k².(k+1)²

=k²+k²+2k+1+k⁴+2k³+k²

=k⁴+2k³+3k²+2k+1

=(k²+k+1)²

=[k(k+1)+1]² là số chính phương lẻ.

làm nhanh Cho nick face thì làm

dm mày

Gọi 2 số chính phương liên tiếp là a² và (a + 1)²

Ta có: \(A=a^2+\left(a+1\right)^2+a^2\left(a+1\right)^2\)

\(=\left[a\left(a+1\right)\right]^2+2a^2+2a+1\)

\(=\left[a\left(a+1\right)\right]^2+2a\left(a+1\right)+1=\left[a\left(a+1\right)+1\right]^2\)

Ta thấy \(a\left(a+1\right)+1\) là số lẻ nên A là số chính phương lẻ (đpcm)

a, Ta có:

\(\Delta=\left[-\left(m+5\right)\right]^2-4\left(2m+6\right)\\ =m^2+10m+25-8m-24\\ =m^2+2m+1\\ =\left(m+1\right)^2\ge0\)

Vậy pt luôn có 2 nghiệm x₁,x₂

b, Theo Vi-ét:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+5\\x_1x_2=2m+6\end{matrix}\right.\)

\(x^2_1+x^2_2=13\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=13\\ \Leftrightarrow\left(m+5\right)^2-2\left(2m+6\right)=13\\ \Leftrightarrow m^2+10m+25-4m-12-13=0\\ \Leftrightarrow m^2+6m=0\\ \Leftrightarrow m\left(m+6\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-6\end{matrix}\right.\)