a) \(\left(a+b\right)\left(a^2-a\cdot b+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(a^2+a\cdot b+b^2\right)\)

\(=a^3+b^3+a^3-b^3=2a^3\)

b)\(\left(a+b\right)\left(\left(a-b\right)^2+ab\right)=\left(a+b\right)\left(a^2-2ab-b^2+ab\right)\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^3+b^3\)

1: \(\Leftrightarrow a^5-a^4b+b^5-ab^4>=0\)

\(\Leftrightarrow a^4\left(a-b\right)-b^4\left(a-b\right)>=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\cdot\left(a+b\right)\cdot\left(a^2+b^2\right)>=0\)(luôn đúng khi a,b dương)

áp dụng dãy tỉ số = nhau ta có

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a-b}{c-d}=\frac{a+b}{c-d}\)

Ta xét

Vế 1  \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)\(\Rightarrow\frac{ab}{cd}\)( nhân cả tử mẫu lại với nhau )

Vế 2 : \(\frac{a-b}{c-d}=\frac{a+b}{c+d}\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{\left(c-d\right)\left(c+d\right)}=\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\) ( nhân cả tử cả  mẫu với nhau )

Mà Vế 1 = vế 2

=> \(\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\frac{ab}{cd}\left(đpcm\right)\)

đợi tui tí dược ko

sao lâu thế mọi n

muốn nhanh hải từ từ chứ! :D

1. Vì $n^3$ và $n$ cùng tính chẵn lẻ nên\(n^3+n+2\) chia hết cho 2.

2. Chắc đề là a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=1.

\(<1>\)  Ta có:

\(n^3+n+2=\left(n^3+1\right)+n+1=\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)+n+1=\left(n+1\right)\left(n^2-n+2\right)\)

Vợi mọi  \(n\in N^{\text{*}}\)  thì  \(n+1>0\)  và  \(n^2-n+2>0\)

Vậy,  \(n^3+n+2\)  là một hợp số.

\(<2>\)  Từ giả thiết đã nêu trên, ta có:

\(a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3\)  \(\left(=1\right)\)

nên  \(a^3+b^3+c^3-\left(a^2+b^2+c^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(a^3-a^2+b^3-b^2+c^3-c^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)+c^2\left(c-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(^{a=b=c=1}_{a=b=c=0}\)  (dùng dấu ngoặc vuông nhé)

Kết hợp với giả thiết, ta suy ra  \(a,b,c\)  nhận hai giá trị là  \(0\)  và  \(1\)

Do  đó,  \(b^{2012}=b^2;\)  \(c^{2013}=c^2\)

Vậy,  \(S=a^2+b^{2012}+c^{2013}=a^2+b^2+c^2=1\)

\(a^2+b^2=a^2-2ab+b^2+2ab=\left(a-b\right)^2+2ab\)

Vì  \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2+2ab\ge2ab\left(dpcm\right)\)

đặt a=3q+1,b=3p+2 (q; p thuocN). Ta có a.b= 9pq+ 6q + 3p +2. Vậy.....

a)\(a^2+ab+b^2=a^2+\dfrac{2ab}{2}+\left(\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\)

\(=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\forall a,b\)

b)\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\forall a,b\)

a: Xét ΔABM vuông tại M  và ΔACM vuông tại M có

AB=AC

AM chung

Do đó: ΔABM=ΔACM

b: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của BC

MK//AB

Do đó: K là trung điểm của AC

Ta có: ΔAMC vuông tại M

mà MK là đường trung tuyến

nên KA=KM