Chứng minh rằng: a2+b2+c2+d2+e2≥a(b+c+d+e).
CMR a2+b2+c2+d2+e2≥a(b+c+d+e)
Cho a, b, c, d, q, p thỏa mãn p2 + q2 - a2 - b2 - c2 - d2 > 0. Chứng minh rằng : ( p2 - a2 - b2 )( q2 - c2 - d2 ) ≤ ( pq- ac - bd )2
Cho tỉ lệ thức :a/b=c/d
Chứng minh rằng:(a+b)2/(c+d)2=a2 +b2/c2+d2
Bạn đánh lại đề đi, Để ghi dấu mũ bạn ấn nút "x2" trên thanh công cụ, sau khi bạn gõ xong dấu mũ rồi bạn ấn lại nó để đưa về trạng thái thường
\(\frac{\left(a+b\right)2}{\left(c+d\right)2}=\frac{2a+2b}{2c+2d}\)
Vậy \(\frac{\left(a+b\right)2}{\left(c+d\right)2}=\frac{2a+2b}{2c+2d}\)
Cho 4 số tự nhiên khác 0 thỏa mãn: a2 + b2 = c2 + d2. Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số
Ta có : a2 + b2 = c2 + d2
⇒a2 + b2 + c2 + d2 = 2 ( a2 + b2 ) ⋮2 nên là hợp số
Ta có : a2 + b2 + c2 + d2 - ( a + b + c + d )
= a ( a - 1 ) + b ( b - 1 ) + c ( c - 1 ) + d ( d - 1 ) ⋮2
⇒a + b + c + d ⋮2 nên cũng là hợp số
Ta có: \(a^2+b^2=c^2+d^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+a^2+b^2=a^2+b^2+c^2+d^2\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)=a^2+b^2+c^2+d^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\) là chẵn
Xét hiệu: \(a^2+b^2+c^2+d^2-a-b-c-d=a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)+d\left(d-1\right)\)
Mà tích 2 số TN liên tiếp là chẵn
⇒ Tổng a+b+c+d là chẵn
Vì \(a+b+c+d>2\) với mọi số TN a,b,c,d khác 0
⇒ a+b+c+d là hợp số
Chứng minh rằng: 1/ (ac + bd)2 + (ad - bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
2/ (a2 + b2)(c2 + d2) ≥ (ac + bd)2
\(1,\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\\ =a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\\ =a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\\ =\left(a^2c^2+a^2d^2\right)+\left(b^2d^2+b^2c^2\right)\\ =a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\\ =\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
2, \(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge\left(ac+bd\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\ge a^2c^2+2abcd+b^2d^2\)
\(\Leftrightarrow b^2c^2-2abcd+a^2d^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(bc-ad\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow bc=ad\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
\(1\)/
⇔ \(\left(ac\right)^2+2abcd+\left(bd\right)^2+\left(ad\right)^2-2abcd+\left(bc\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
⇔\(a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
⇔\(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\) ⇒ \(\left(dpcm\right)\)
\(2\)/
⇔\(\left(ac\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(bd\right)^2\ge\left(ac\right)^2+2abcd+\left(bd\right)^2\)
⇔\(\left(ad\right)^2-2abcd+\left(bc\right)^2\ge0\)
⇔\(\left(ad-bc\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
1/ \((ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (ac)^2 + (bd)^2 + 2(ac)^2 (bd)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 - 2(ad)^2 (bc)^2 \)
\(= (ac)^2 + (bd)^2 + 2(acbd)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 - 2(adbc)^2 \)
\(= (ac)^2 + (bd)^2 + (ad)^2 + (bc)^2\)
\(= a^2 c^2 + b^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 d^2\)
\(= (a^2 + b^2)c^2 + (a^2 + b^2)d^2\)
\(= (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\)
➤ \((ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)\)
2/ \((a^2 + b^2)(c^2 + d^2) ≥ (ac + bd)^2 \)
↔ \((ac)^2 + (bc)^2 + (ad)^2 + (bd)^2 ≥ (ac)^2 + (bd)^2 + 2(ac)(bd)\)
↔\( (bc)^2 + (ad)^2 ≥ 2(acbd)\)
↔\( (bc)^2 + (ad)^2 - 2(bcad) ≥ 0\)
↔ \( (bc - ad)^2 ≥ 0 \) với mọi a,b,c và d
➤ \((a^2 + b^2)(c^2 + d^2) ≥ (ac + bd)^2 \) với mọi a,b,c,d
a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2)
a: \(VT=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)
\(=a^2c^2+a^2d^2+b^2d^2+b^2c^2\)
\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)
\(=\left(c^2+d^2\right)\left(a^2+b^2\right)\)
b: Bạn ghi lại đề đi bạn
a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
a: \(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)
\(=a^2c^2+b^2d^2-2abcd+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)
\(=a^2c^2+a^2d^2+b^2d^2+b^2c^2\)
\(=\left(c^2+d^2\right)\left(a^2+b^2\right)\)
b: \(\left(ac+bd\right)^2< =\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2-a^2c^2-a^2d^2-b^2c^2-b^2d^2< =0\)
\(\Leftrightarrow-a^2d^2+2abcd-b^2c^2< =0\)
\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2>=0\)(luôn đúng)
a) \(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)
\(=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2adbc+b^2c^2\)
\(=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\)
\(=\left(a^2c^2+a^2d^2\right)+\left(b^2d^2+b^2c^2\right)\)
\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)
\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
b) \(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)-\left(ac+bd\right)^{^2}\)
\(=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2-a^2c^2-2abcd-b^2d^2\)
\(=a^2d^2+b^2c^2-2abcd\)
\(=\left(ad\right)^2-2ad.bc+\left(bc\right)^2\)
\(=\left(ad-bc\right)^2\ge0\)
\(=\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
a) Ta có
b) Ta có
Mà theo câu a, ta có
Nên
gọi S là diện tích tứ giác ABCD có độ dài các cạnh là a,b,c,d .
Chứng minh rằng : S ≤( a2+b2+c2+d2 )/4