Gọi UWCLN(2n + 1; 3n + 2) = d

Ta có :

2n + 1 chia hết cho d => 3(2n + 1) = 6n + 3 chia hết cho d

3n + 2 chia hết cho d => 2(3n + 2) = 6n + 4 chia hết cho d

Áp dụng công thức đồng dư, ta có :

6n + 4 - 6n - 3 = 1 

=> \(\frac{2n+1}{3n+2}\) là phân số tối giản vì có ước chung là 1

Để phân số \(\frac{2n+1}{3n+2}\)tối giản, ta cần chứng minh ƯCLN(2n+1; 3n+2) = 1 hoặc -1

Giả sử ƯCLN(2n+1; 3n+2) = d (d khác 1 và -1), ta có:

\(\left(2n+1\right)⋮d\) và \(\left(3n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\left[\left(3n+2\right)-\left(2n+1\right)\right]⋮d\) hay \(\left(n+1\right)⋮d\)

Vì \(\left(2n+1\right)⋮d\) và \(\left(n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\left[\left(2n+1\right)-\left(n+1\right)\right]⋮d\) hay \(n⋮d\)

Vì  \(n⋮d\) nên \(2n⋮d\), mà \(\left(2n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\) hay d = 1 hoặc d = -1.

Vậy phân số \(\frac{2n+1}{3n+2}\) tối giản.

Gọi d là UCLN của 2n +1 và 3n+2

2n+1\(⋮\)d

\(3n+2⋮d\)

\(\Rightarrow3\left(2n+1\right)⋮\)d và \(2\left(3n+2\right)⋮\)d

\(\Rightarrow6n+3⋮d\);\(6n+4⋮d\)

\(\Rightarrow6n+4-\left(6n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\Rightarrow dpcm\)

Gọi d là ƯC của 2n+1 và 3n+2

( 2 n + 1 ) \(⋮\)d\(\Rightarrow\)3 × ( 2 n + 1 ) \(\Rightarrow\)( 6 n + 1 )

( 3 n + 2 ) \(⋮\)d\(\Rightarrow\)2 × ( 3 n + 2 ) \(\Rightarrow\)( 6 n + 2 )

\(\Rightarrow\)(3 n + 1 - 3 n + 2 )

= 1  

\(\Rightarrow\)d = 1 ; d = -1

cíu 

Gọi d=UCLN(2n+1;3n+2)

\(\Leftrightarrow3\left(2n+1\right)-2\left(3n+2\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow-1⋮d\)

=>d=1

=>UCLN(2n+1;3n+2)=1

=>2n+1/3n+2 là phân số tối giản

Gọi UCLN(2n + 1 ; 3n + 2) = d

2n + 1 chia hết cho d => 3(2n + 1) = 6n + 3 chia hết cho d

3n + 2 chia hết cho d => 2(3n + 2) = 6n + 4 chia hết cho d

=> [(6n + 4) - (6n + 3)] chia hết cho d

1 chia hết cho d => d = 1

Vì UCLN(2n + 1 ; 3n + 2) = 1

Nên 2n + 1/3n + 2 tối giản (với mọi n thuộc N)

goij d là ước chung của 2n +1 và 3n+2

2n+1chia hết cho d => 3(2n+1) chia hết cho d => 6n +3 chia hết cho d (1)

3n+2 chia hết cho d=> 2(3n +2)chia hết cho d => 6n + 4 chia hết cho d (2)

lấy (2) trừ (1) ta có 1 chia hết cho d vậy d=cộng trừ 1

nên phân số đã cho tối giản

Để 2n + 1 / 3n+2  là phân số tôi giản thì 2n+1 và 3n +2 phải nguyên tố cùng nhau

Gọi d là ƯCLN(2n+1,3n+2) ; d thuộc N^*

Suy ra 2n+1 chia hết cho d và 3n + 2 chia hết cho d

Hay :   3.(2n+1) chia hết cho d và 2. (3n+2) chia hết cho d

=>       6n+3 chia hết cho d và 6n+4 chia hết cho d 

Suy ra [ ( 6n+4)-(6n+3 )] chia hết cho d

       => ( 6n+4 - 6n - 3 ) chia hết cho d

       =>             1            chia hết cho d 

       => d thuộc Ư(1) ={1} nên d =1

                                         Hay ƯCLN (2n+1 , 3n+2 ) =1

Vậy 2n+1 / 3n+2 là phân số tối giản

                                                Lời giải:

Gọi d là ƯCLN\((2n+1,3n+2)\) \((d\inℕ^∗)\)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}3(2n+1)⋮d\\2(3n+2)⋮d\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}6n+3⋮d\\6n+4⋮d\end{cases}}\)

=> \((6n+4)-(6n+3)⋮d\)

=> \(1⋮d\)

=> \(d=1\)

Vậy phân số \(\frac{2n+1}{3n+2}\)là phân số tối giản

Gọi d=ƯCLN(2n+1;3n+2)

Ta có 2n+1 : d

       3n+2 :d   ( mình viết dấu : thay cho dấu chia hết nhé)

=>3(2n+1) :d

2(3n+2):d

=>6n+3 :d

   6n+4 :d

=> (6n+4)-(6n+3):d

=>1:d

=>d=1

=> ƯCLN(2n+1;3n+2)=1

Vậy phân số \(\frac{2n+1}{3n+2}\) là phân số tối giản

trog Sách chuyên đề lớp 6 nhé bn , bài này giải ra dài lắm

Gọi \(d=\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(n^3+2n\right)⋮d\\\left(n^4+3n^2+1\right)⋮d\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n\left(n^3+2n\right)=\left(n^4+2n^2\right)⋮d\\\left(n^4+3n^2+1\right)⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(n^4+3n^2+1\right)-\left(n^4+2n^2\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow n^2+1⋮d\Leftrightarrow\left(n^2+1\right)^2⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n^2+1\right)^2-\left(n^4+2n^2\right)⋮d\Leftrightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

=> P/s tối giản

Gọi \(d=ƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right);\left(d>0\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n^3+2n⋮d\left(1\right)\\n^4+3n^2+1⋮d\end{cases}}\)

Từ \(\left(1\right)\): \(\Rightarrow n\left(n^3+2n\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n^4+2n^2⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n^4+3n^2+1\right)-\left(n^4+2n^2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n^2+1⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n^2+1\right)^2⋮d\)

\(\Rightarrow n^4+2n^2+1⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)(do \(n^4+2n^2⋮d\))

Vì \(d>0\)\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)=1\)

\(\Rightarrow\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\)là phân số tối tối giản với mọi n nguyên