ai cứu mình với ạ:(

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)

=>\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=a^2+b^2+c^2\)

=>\(2\left(ab+bc+ac\right)=0\)

=>ab+bc+ac=0

\(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{3}{abc}\)

=>\(\dfrac{\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3+\left(ab\right)^3}{\left(abc\right)^3}=\dfrac{3}{abc}\)

=>\(\left(bc\right)^3+\left(ac\right)^3+\left(ab\right)^3=3\left(abc\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc\right)^3-3\cdot ab\cdot bc\cdot\left(ab+bc\right)+\left(ac\right)^3=3\left(abc\right)^2\)

=>\(\left(-ac\right)^3-3\cdot ab\cdot bc\cdot\left(-ac\right)+\left(ac\right)^3-3\left(abc\right)^2=0\)

=>\(-a^3c^3+a^3c^3+3a^2b^2c^2-3a^2b^2c^2=0\)

=>0=0(đúng)

+) Ta có: a 3 + b 3 = a + b 3 - 3 a b a + b

Thật vậy, VP = a + b 3  – 3ab (a + b)

= a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 - 3 a 2 b - 3 a b 2

= a 3 + b 3  = VT

Nên  a 3 + b 3 + c 3 = a + b 3 - 3 a b a + b + c 3  (1)

Ta có: a + b + c = 0 ⇒ a + b = - c (2)

Thay (2) vào (1) ta có:

a 3 + b 3 + c 3 = - c 3 - 3 a b - c + c 3 = - c 3 + 3 a b c + c 3 = 3 a b c

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc>=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc>=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)>=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0\)(vì a+b+c>0)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2>=0\)(luôn đúng)

\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\)

Vì \(a,b,c>0\Leftrightarrow a+b+c>0\)

Lại có \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\dfrac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)

Nhân vế theo vế ta được đpcm

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)

(vì a+b+c>0)

(luôn đúng)

a³+b³+c³= (a+b)³-3ab(a+b)+c³
Thay a+b=-c vào, ta được: 
a³ + b³ +c³ = (-c)³ -3ab(-c) +c³ = 3abc (đpcm)

Câu hỏi của trần thị bảo trân - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Tham khảo ở link trên nhé.

\(a+b+c=0\)

\(-a=b+c\)

\(\Rightarrow-a^3=\left(b+c\right)^3\)

\(\Rightarrow-a^3=b^3+c^3+3bc\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow a+b=-c\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)

\(\Rightarrow a^3+3ab\left(a+b\right)+b^3+c^3=0\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)=3abc\left(\text{ vì }a+b=-c\right)\)

Ta có: a + b + c = 0

⇒ a + b = -c ⇒ (a + b)3 = (-c)3

⇒ a3 + b3 + 3ab(a + b) = -c3 ⇒ a3 + b3 + 3ab(-c) + c3 = 0

⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc

Lời giải:

$a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$

Ta có:
$a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2+c^3$
$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=(-c)^3+3abc+c^3=3abc$ chứ không phải bằng $0$ nhé.