Làm tạm một câu rồi đi chơi, lát làm cho.

4)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :

\(VT\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1}=9\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

2/ Cô: \(\frac{2a}{b}+\frac{b}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{a.a.b}{b.b.c}}=3\sqrt[3]{\frac{a^3}{abc}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}\)

Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế thu được:

\(3.VT\ge3.VP\Rightarrow VT\ge VP^{\left(Đpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b= c

Áp dụng BĐT Cauchy ta có: \(\frac{1}{a^2+1}=\frac{\left(a^2+1\right)-a^2}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}\ge1-\frac{a^2}{2a}=1-\frac{a}{2}\)

Hoàn toàn tương tự ta được

\(\frac{1}{b^2+1}\ge1-\frac{b}{2};\frac{1}{c^2+1}\ge1-\frac{c}{2};\frac{1}{d^2+1}\ge1-\frac{d}{2}\)

Cộng theo vế của từng BĐT trên ta được

\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{1}{d^2+1\ge2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=1

Nguồn: Nguyễn Thị Thúy

Trần Văn Doang cần hỏi gì ạ?

Ta sẽ chứng minh: \(\sqrt{\frac{x^4+1}{2}}+\frac{4x^2}{x^2+1}\ge3x\)

Thật vậy: \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\frac{x^4+1}{2}}-x\right)+2\left(\frac{2x^2}{x^2+1}-x\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left[\frac{\left(x+1\right)^2}{2\sqrt{\frac{x^4+1}{2}}+2x}-\frac{2x}{x^2+1}\right]\ge0\)

Bây giờ ta quy về chứng minh: \(\frac{\left(x+1\right)^2}{2\sqrt{\frac{x^4+1}{2}}}\ge\frac{2x}{x^2+1}\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)^2\ge4x\left(\sqrt{\frac{x^4+1}{2}+x}\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+1+2x^3+2x\ge2x^2+4x\sqrt{\frac{x^4+1}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^4+1}{2}+x^3+x\ge x^2+2x\sqrt{\frac{x^4+1}{2}}\)

Bất đẳng thức trên đúng theo AM - GM:

\(\frac{x^4+1}{2}+x^3+x\ge\left(\frac{x^4+1}{2}+x^2\right)+x^2\ge2x\sqrt{\frac{x^4+1}{2}}+x^2\)

Vậy hoàn tất chứng minh trên nên ta có:

\(\sqrt{\frac{a^2+1}{2}}+\frac{4a}{a+1}\ge3\sqrt{a}\);\(\sqrt{\frac{b^2+1}{2}}+\frac{4b}{b+1}\ge3\sqrt{b}\)

\(\sqrt{\frac{c^2+1}{2}}+\frac{4c}{c+1}\ge3\sqrt{c}\); \(\sqrt{\frac{d^2+1}{2}}+\frac{4c}{d+1}\ge3\sqrt{d}\)

Cộng từng vế của các bđt trên. ta được: \(\text{Σ}_{cyc}\sqrt{\frac{a^2+1}{2}}\ge3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)\)

\(-4\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\right)\)\(=3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)-8\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1 

Chúc bạn học tốt !!

Ta có \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\ge\frac{3}{a^2b}\)

\(\frac{1}{b^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\ge\frac{3}{b^2c}\)

..............................

=> \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\ge\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{b^2c}+\frac{1}{c^2d}+\frac{1}{d^2a}\left(1\right)\)

Áp dụng bđt cosi ta có

\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^2b}\ge\frac{2}{b^3}\)

\(\frac{b^2}{c^5}+\frac{1}{b^2c}\ge\frac{2}{c^3}\)

\(\frac{c^2}{d^5}+\frac{1}{c^2d}\ge\frac{2}{d^3}\)

\(\frac{d^2}{a^5}+\frac{1}{d^2a}\ge\frac{2}{a^3}\)

Cộng vế của các bđt trên và kết hợp với (1)

=> ĐPCM

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c