Phần a)

Sử dụng bổ đề \(x^{mn}-1\vdots x^m-1\) với mọi \(m,n \in\mathbb{N}\)

Chứng minh bổ đề:

Thật vậy, theo hằng đẳng thức đáng nhớ:

\(x^{mn}-1=(x^m)^n-1^n=(x^m-1)[(x^m)^{n-1}+(x^m)^{n-2}+...+x^m+1]\vdots x^m-1\)

Bổ đề đc chứng minh.

-----------------------------------

Ta có:

\(x^{400}+x^{200}+1=x^{396}.x^4+x^{198}.x^2+1\)

\(=x^4(x^{396}-1)+x^2(x^{198}-1)+(x^4+x^2+1)\)

Áp dụng bổ đề trên vào bài toán kết hợp với \(x^6-1=(x^2-1)(x^4+x^2+1)\vdots x^4+x^2+1\) ta suy ra:

\(x^{396}-1=x^{6.66}-1\vdots x^6-1\vdots x^4+x^2+1\)

\(x^{198}-1=x^{6.33}-1\vdots x^6-1\vdots x^4+x^2+1\)

\(x^4+x^2+1\vdots x^4+x^2+1\) (hiển nhiên)

Do đó: \(x^{400}+x^{200}+1\vdots x^4+x^2+1\)

(đpcm)

Phần b)

\(F(x)=x^{1970}+x^{1930}+x^{1890}=x^{1890}(x^{80}+x^{40}+1)\)

Thấy rằng:

\(x^{80}+x^{40}+1=(x^{40}+1)^2-x^{40}=(x^{40}+1)^2-(x^{20})^2\)

\(=(x^{40}+1-x^{20})(x^{40}+1+x^{20})\)

Mà: \(x^{40}+1+x^{20}=(x^{20}+1)^2-x^{20}=(x^{20}+1)^2-(x^{10})^2\)

\(=(x^{20}+1-x^{10})(x^{20}+1+x^{10})\vdots x^{20}+x^{10}+1\)

Do đó:

\(x^{80}+x^{40}+1\vdots x^{20}+x^{10}+1\)

a/ Đặt \(x^{10}=a\) ta có:

\(A=a^{197}+a^{193}+a^{198}\)

\(=a^{193}\left(a^4+1+a^5\right)\)

\(=a^{193}\left[\left(a^5+a^4+a^3\right)-\left(a^3+a^2+a\right)+\left(a^2+a+1\right)\right]\)

\(=a^{193}\left(a^2+a+1\right)\left(a^3-a+1\right)⋮\left(a^2+a+1\right)\)

Vậy có ĐPCM

b/ \(B=7.5^{2n}+12.6^n=\left(7.25^n-7.6^n\right)+19.6^n\)

\(=7\left(25-6\right)G\left(n\right)+19.6^n=7.19.G\left(n\right)+19.6^n⋮19\)

a) 56

b) 20

c) khó quá mình ko biết

nho k minh nhe

6x+11y chia hết 31 nên 6x+11y+31y chia hết 31, hay 6x+42y chia hết 31, hay 6(x+7y) chia hết 31, suy ra x+7y chia hết 31 Vì ƯC(6,31)=1

Nếu x+7y chia hết 31 suy ra 6(x+7y) chia hết 31, hay 6x+42y chia hết 31, suy ra 6x+11y+31y chia hết 31, suy ra 6x+11y chia hết 31

kho

   6(x+7y) - (6x+11y)

= 6x + 42y- 6x- 11y

=31y

Do 31y chia hết cho 31

6x+11y chia hết cho 31 => 6(x+7y) chia hết cho 31

Do ƯCLN = (6,31) = 1=> x+7y chia hết cho 31

Vậy nếu 6x+11y chia hết cho 31 thì x+7y cũng chia hết cho 31 (ĐPCM)

a) B ( 12 ) = { 0 ; 12 ; 24 ; ; 36 ; 48 ; 60 ; .... }

Mà x thuộc B ( 12 ) và 20 < x < 50

=> x = {24 ; 36 ; 48 }

b) x chia hết 15 và 0 < x < 40

Vì x chia hết cho 15 => x thuộc B ( 15 )

B ( 15 ) = { 0 ; 15 ; 30 ; 45 ; 60 ; ... }

Mà x chia hết cho 15 và 0 < x < 40 

=> x = { 15 ; 30 ; 45 }

c) x thuộc Ư ( 20 ) và x > 8

Ư ( 20 ) = { 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20 }

Mà x thuộc Ư ( 20 ) và x > 8

=> x = { 10 ; 20 Ư

d) 16 chia hết cho x

=> x thuộc Ư ( 16 )

Ư ( 16 ) = { 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 }

=> x = { 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 }

\(B\left(25\right)=\left\{0;25;50;75;100;125;...\right\}\)

\(x\le100\Rightarrow x\in\left\{0;25;50;75;100\right\}\)

Vậy \(x\in\left\{0;25;50;75;100\right\}\).

\(Ư\left(30\right)=\left\{1;2;3;5;6;10;15;30\right\}\)

\(x>10\Rightarrow x\in\left\{15;30\right\}\)

Vậy \(x\in\left\{15;30\right\}\).

\(x⋮21\Rightarrow x\in B\left(21\right)=\left\{0;21;42;63;...\right\}\)

Mà \(x< 60\) nên \(x\in\left\{0;21;42\right\}\)

Vậy \(x\in\left\{0;21;42\right\}\).

\(45⋮x\Rightarrow x\inƯ\left(45\right)=\left\{1;3;5;9;15;45\right\}\)

Mà \(x\le9\) nên \(x\in\left\{1;3;5;9\right\}\)

Vậy \(x\in\left\{1;3;5;9\right\}\).