a: \(\widehat{ABC}=30^0\)

b: Xét ΔACE vuông tại C và ΔAKE vuông tại K có

AE chung

\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\)

Do đó: ΔACE=ΔAKE

c: Ta có: ΔACE=ΔAKE

nên AC=AK; EC=EK

hay AE là đường trung trực của CK

d: Xét ΔEAB có \(\widehat{EBA}=\widehat{EAB}\)

nên ΔEAB cân tại E

mà EK là đường cao

nên K là trung điểm của AB

hay KA=KB

a) Xét ΔCAE và ΔKAE có

     \(\widehat{ACE}=\widehat{AHE}=90\left(gt\right)\)

        AE: cạnh chung

    \(\widehat{CAE}=\widehat{HAE}\left(gt\right)\)

=> ΔCAE=ΔKAE (cạnh huyền-góc nhạn)

=> AC=AK

=> ΔACK cân tại A

Mà AE là tia phân giác của \(\widehat{CAK}\)

=> AE cũng là đường cao của ΔACK

=> AE vuông góc với CK

b) Có ΔCAK cân tại A(cmt)

Mà: \(\widehat{A}=60\left(gt\right)\)

 => ΔCAK là tam giác đều 

=> AK=CK    (1)

Vì ΔABC cân tại C(gt), có CK là đường cao ứng với cạnh huyền AB 

=> CK=KB     (2)

Từ (1)(2) suy ra: KA=KB

bạn tự vẽ hình nha

a) xét 2 tam giác ACE và AKE có:

góc ACE=góc AKE(=90độ)

góc CAE=góc KAE(gt)

cạnh AE chung

=> 2 tam giác ACE=AKE(cạnh huyền-góc nhọn )

=> AC=AK(2 cạnh tương ứng)

=> tam giác CAK cân ở A 

=> AE là đg p.giác đồng thời là đg cao 

hay AE vuông góc với CK 

b)góc  CAE=góc KAE(gt)=góc A/2=\(\frac{60^0}{2}\)=30độ

tam giác ABC vuông ở C có góc A=60độ 

=> góc B = 90độ -góc A

                =90độ-60độ

                =30độ

tam giác AEB có góc EAK=góc EBK=30độ

=> tam giác AEB cân ở E

=> EA=EB

xét 2 tam giác AKE và BKE có: 

góc AKE=góc BKE(=90độ)

cạnh KE chung

EA=EB(chứng minh trên)

=> 2 tam giác AKE=BKE(cạnh huyền -cạnh góc vuông)

=> KA=KB(2 cạnh tương ứng)

c) xét tam giác ACE vuông ở C

AE> AC(quan hệ giữa đg vuông góc và đg xiên )

tam giác AEB cân ở E(theo b)

=> EB=EA

=> EB>AC

d)

gọi O là giao điểm của AC và BD

nối O với E

xét 2 tam giác OKE và OKB có: 

góc OKA=góc OKB(=90độ)

cạnh OK chung 

AK=BK(theo b)

=> 2 tam giác OKA =OKB(c.g.c)

=> OA=OB 

=> tam giác OAB cân ở O 

AE vuông góc với OB 

BE vuông góc với OA 

=> OE vuông góc với AB(tính chất 3 đg cao trong tam giác)

EK vuông góc với AB

=> OK vuông góc với AB

=> AC,KE,BD đồng quy 

a) Xét ΔACE vuông tại C và ΔAKE vuông tại K có 

AE chung

\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\)(AE là tia phân giác của \(\widehat{CAK}\))

Do đó: ΔACE=ΔAKE(Cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: AC=AK(hai cạnh tương ứng) và EC=EK(hai cạnh tương ứng)

Ta có: AC=AK(cmt)

nên A nằm trên đường trung trực của CK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: EC=EK(cmt)

nên E nằm trên đường trung trực của CK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AE là đường trung trực của CK

hay AE⊥CK(đpcm)

b) Ta có: ΔABC vuông tại C(gt)

nên \(\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{EBA}=90^0-60^0=30^0\)(3)

Ta có: AE là tia phân giác của \(\widehat{CAB}\)(gt)

nên \(\widehat{EAB}=\dfrac{\widehat{CAB}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)

Xét ΔEBA có \(\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)(cmt)

nên ΔEBA cân tại E(Định lí đảo của tam giác cân)

Xét ΔEKA vuông tại K và ΔEKB vuông tại K có 

EA=EB(ΔEBA cân tại E)

EK chung

DO đó: ΔEKA=ΔEKB(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: KA=KB(hai cạnh tương ứng)

c) Ta có: ΔEKB vuông tại K(gt)

nên EB là cạnh lớn nhất(EB là cạnh huyền)

hay EB>EK

mà EK=EC(cmt)

nên EB>EC(đpcm)

a) Xét tam giác vuông ACE và tam giác vuông AKE có:

Cạnh AE chung

\(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\)  (gt)

\(\Rightarrow\Delta ACE=\Delta AKE\)    (Cạnh huyền - góc nhọn)

b) Do \(\Delta ACE=\Delta AKE\) nên AC = AK hay tam giác ACK cân tại A.

Vậy thì phân giác AE cũng đồng thời là đường trung trực của CK.

c) Xét tam giác ABC vuông có góc \(\widehat{CAB}=60^o\Rightarrow\widehat{CBA}=30^o\)

Xét tam giác AEB có \(\widehat{EAB}=\widehat{ABE}\left(=30^o\right)\) nên AEB là tam giác cân tại E.

Vậy thì đường cao EK đồng thời là trung tuyến hay KA = KB.

a) Xét tam giác ACE và tam giác AKE

có AE chung

góc CAE =góc KAE (GT)

góc ECA = góc EKA =90⁰

suy ra tam giác ACE = tam giác AKE (cạnh huyền-góc nhọn) (1)

b) Từ (1) suy ra AC=AK suy ra A thuộc đường trung trực của CK  (2)

Từ (1) suy ra EK=EC suy ra E thuộc đường trung trực của CK  (3)

Từ(2) và (3) suy ra AE là  đường trung trực của CK

c) tam giác ABC vuông tại C, có góc CAB = 60⁰

suy ra AC=AB:2 ( cạnh đối diện với góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền)

mà AK=AC , AK +KB=AB

suy ra AK=AC=KB

d) tam giác BDE=tam giác BKE (cạnh huyền-góc nhọn)

(Câu này mình tìm thấy của Lê Thị Nhung ở h https://h.vn/vip/lethinhung262)