theo bđt cauchy schwars dạng engel ta có

\(T=\dfrac{x^2}{y+x}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\)

Dấu '=' xảy ra khi x=y=z

pt \(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=2015\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{2}x=2015\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2015}{3\sqrt{2}}\)

vậy \(T_{min}=\dfrac{2015}{\sqrt{2}}\) khi \(x=y=z=\dfrac{2015}{3\sqrt{2}}\)

ko chắc đúng nha bạn :))

\(M=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\)

\(M=\frac{1}{16x}+\frac{4}{16y}+\frac{16}{16z}\)

\(M=\frac{1^2}{16x}+\frac{2^2}{16y}+\frac{4^2}{16z}\)

\(M\ge\frac{\left(1+2+4\right)^2}{16\left(x+y+z\right)}\)

    \(=\frac{49}{16}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{1}{16x}=\frac{2}{16y}=\frac{4}{16z}=\frac{1+2+4}{16\left(x+y+z\right)}=\frac{7}{16}\) 

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{7}\\y=\frac{2}{7}\\z=\frac{4}{7}\end{cases}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)

\(\Rightarrow1\ge3\sqrt[3]{xyz}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{27}\ge xyz\)

Ta có  \(M=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow M=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{64xyz}}\)( 1 ) 

Xét  \(3\sqrt[3]{\frac{1}{64xyz}}\)

Ta có  \(\frac{1}{27}\ge xyz\)

\(\Rightarrow\frac{64}{27}\ge64xyz\)

\(\Rightarrow\frac{27}{64}\le\frac{1}{64xyz}\)

\(\Rightarrow\frac{9}{4}\le3\sqrt[3]{\frac{1}{64xyz}}\)( 2 ) 

Từ ( 1 ) và ( 2 ) 

\(\Rightarrow M=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{64xyz}}\ge\frac{9}{4}\)

Vậy  \(M_{min}=\frac{9}{4}\)

\(M=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{16x}+\frac{4}{16y}+\frac{16}{16z}=\frac{1^2}{16x}+\frac{2^2}{16y}+\frac{4^2}{16z}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schawrz dạng Engel ta được:

\(M=\frac{1^2}{16x}+\frac{2^2}{16y}+\frac{4^2}{16z}\ge\frac{\left(1+2+4\right)^2}{16x+16y+16z}=\frac{7^2}{16\left(x+y+z\right)}=\frac{49}{16.1}=\frac{49}{16}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{1}{16x}=\frac{2}{16y}=\frac{4}{16z}\). Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{1}{16x}=\frac{2}{16y}=\frac{4}{16z}=\frac{1+2+4}{16x+16y+16z}=\frac{7}{16\left(x+y+z\right)}=\frac{7}{16.1}=\frac{7}{16}\)

=>\(x=\frac{1}{7};y=\frac{2}{7};z=\frac{4}{7}\)

Vậy M_min=49/16 khi \(x=\frac{1}{7};y=\frac{2}{7};z=\frac{4}{7}\)

Hình như đề sai rùi bạn ơi !

Phải sửa xy/x^2+y^2 thành x^2+y^2/xy hoặc cái gì khác

Vì xy/x^2+y^2 chỉ có GTLN chứ ko có GTNN đâu

Mk nói có gì sai thì thông cảm nha !

đề không sai đâu bạn à. Đây là đề toán chuyên ở tỉnh mình mà

Theo B.C.S ta có \(\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)\(\ge\)(\(\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)\(=x+y\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(x+y\right)=2+\frac{x^2+y^2}{xy}\)

\(\Leftrightarrow\)\(P\ge2+\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{4xy}+\frac{3\left(x^2+y^2\right)}{4xy}\)

\(\Leftrightarrow\)\(P\ge2+2\sqrt{\frac{xy}{x^2+y^2}\times\frac{x^2+y^2}{4xy}}\)\(+\frac{3\times2xy}{4xy}\)

\(\Leftrightarrow\)\(P\ge2+1+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\)x=y

GTLN là \(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{6}\) Sách mình ghi thế nhưng không có lời giải li ke nha

 \(A=2018-\left|x-7\right|-\left|y+2\right|\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left|x-7\right|\ge0\forall x\\\left|y+2\right|\ge0\forall y\end{cases}}\Rightarrow2018-\left|x-7\right|-\left|y+2\right|\le2018\)

\(A=2018\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left|x-7\right|=0\\\left|y+2\right|=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=7\\y=-2\end{cases}}}\)

Vậy \(A_{m\text{ax}}=2018\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=7\\y=-2\end{cases}}\)

Tham khảo~

Lời giải:
ĐKXĐ: $x\leq 1$
Ta thấy: $\sqrt{1-x}\geq 0$ với mọi $x\leq 1$

$\Rightarrow y=2+\sqrt{1-x}\geq 2+0=2$
Vậy $y_{\min}=2$. Giá trị này đạt tại $1-x=0\Leftrightarrow x=1$